Một vài bài tập bất đẳng thức. ( Lớp 9 )

[heobeo123]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

1) a^2 + b^2 + c^2 + d^2 + e^2 \geq a(b+c+d+e)
2) a^4 + b^4 \leq \frac{a^6}{b^2} + \frac{b^6}{a^2}

 

[vansang02121998]

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho 2 số không âm, ta có

$\dfrac{a^6}{b^2}+a^2b^2 \ge 2a^4$

$\dfrac{b^6}{a^2}+a^2b^2 \ge 2b^4$

Cộng vế với vế, ta có

$\dfrac{a^6}{b^2}+\dfrac{b^6}{a^2} \ge a^4+b^4+(a^2-b^2)^2 \ge a^4+b^4$




$\dfrac{a^6}{b^2}+\dfrac{b^6}{a^2} \ge a^4+b^4$

$\leftrightarrow a^8+b^8 \ge a^6b^2+a^2b^6$

$\leftrightarrow a^8-a^6b^2-a^2b^6+b^8 \ge 0$

$\leftrightarrow a^6(a^2-b^2)-b^6(a^2-b^2) \ge 0$

$\leftrightarrow (a^2-b^2)(a^6-b^6) \ge 0$

$\leftrightarrow (a^2-b^2)^2(a^4+a^2b^2+b^4) \ge 0$ ( luôn đúng )

Vậy, $\dfrac{a^6}{b^2}+\dfrac{b^6}{a^2} \ge a^4+b^4$

 

[1um1nhemtho1]

zzzzzzzzzz

1) a^2 + b^2 + c^2 + d^2 + e^2 \geq a(b+c+d+e)

Ta có:
$a^2+4b^2 \ge 4ab$ (1)( vì BĐT này \Leftrightarrow $(a-2b)^2 \ge 0$)
dấu $"="$ xảy ra khi $a=2b$
tương tự có $a^2+4c^2 \ge 4ac$ (2)
$a^2+4d^2 \ge 4ad$ (3)
$a^2+4e^2 \ge 4ae$ (4)
Cộng (1),(2),(3) và (4) vế theo vế có:

$4a^2 + 4b^2 + 4c^2 + 4d^2 + 4e^2 \ge 4ab+4ac+4ad+4ae$
\Leftrightarrow $a^2 + b^2 + c^2 + d^2 + e^2 \ge a(b+c+d+e)$ (ĐPCM)
Dấu $"="$ xảy ra khi $a=2b=2c=2d=2e$