Một vài bài BĐT hay.khó!

[star_lucky_o0o]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

1.Cho x,y,z là các số dương và x+y+z \leq 1.Chứng minh:
[TEX]\sqrt{x^2+\frac{1}{x^2}}+\sqrt{y^2+\frac{1}{y^2}}+\sqrt{z^2+\frac{1}{z^2}} \geq \sqrt{82}[/TEX]

2.Cho x,y,z là các số thự thoả mãn [TEX]x^2+y^2+z^2 \leq 1[/TEX]
Tính Max: [TEX]Q=xy+yz+2zx[/TEX]

bài ni kiểu cũng có người thắc mắc sai đề!
Xin thưa đúng 100%

3.Cho tam giác ABC nhọn.Gọi [TEX]A_1;B_1;C_1[/TEX] là chân các đường cao lần lượt kẻ từ A,B,C và H là trực tâm.Tìm GTNN:
[TEX]Q=\frac{HA}{HA_1}+\frac{HB}{HB_1}+\frac{HC}{HC_1}[/TEX]

 

[vodichhocmai]

Đề đúng rồi nhưng khó quá hì hì hì Spam thôi chứ không giải

P/s Lớp 9 mà cao thủ quá

 

[asroma11235]

1.Cho x,y,z là các số dương và x+y+z \leq 1.Chứng minh:
[TEX]\sqrt{x^2+\frac{1}{x^2}}+\sqrt{y^2+\frac{1}{y^2}}+\sqrt{z^2+\frac{1}{z^2}} \geq \sqrt{82}[/TEX]

2.Cho x,y,z là các số thự thoả mãn [TEX]x^2+y^2+z^2 \leq 1[/TEX]
Tính Max: [TEX]Q=xy+yz+2zx[/TEX]


3.Cho tam giác ABC nhọn.Gọi [TEX]A_1;B_1;C_1[/TEX] là chân các đường cao lần lượt kẻ từ A,B,C và H là trực tâm.Tìm GTNN:
[TEX]Q=\frac{HA}{HA_1}+\frac{HB}{HB_1}+\frac{HC}{HC_1}[/TEX]

1)Ta có:
[TEX]VT \geq \sqrt{(x+y+z)^2+(1/x+1/y+1/z)^2} \geq \sqrt{81(x+y+z)^2+(1/x+1/y+1/z)^2-80(x+y+z)^2} \geq \sqrt{18.9-80} \geq \sqrt{82}[/TEX]
Bài này dùng Minkopski cho ngắn thôi, chớ dùng điểm rơi dài, ngại gõ ^^
3)
[TEX]\frac{HA_{1}}{AA_{1}}=\frac{S_{HBC}}{S_{ABC}}[/TEX]
[TEX]\Rightarrow \frac{HA_{1}}{HA}=\frac{S_{HBC}}{S_{ABH}+S_{AHC}}[/TEX]
[TEX]\Rightarrow \frac{HA}{HA_{1}}=\frac{S_{AHB}}{S_{HBC}}+\frac{S_{AHC}}{S_{HBC}}[/TEX]
Thành lập tương tự đối với những số khác rồi dùng AM-GM cho 6 số , ta thu được kết quả [TEX]Q \geq 6[/TEX]
Đẳng thức xảy ra <=> tam giác ABC đều!

 

[taolmdoi]

Bài 1 )
(x^2+1/x^2)(1^2+9^2) <= (x+9/x)^2 >=1/căn82
CM tương tự
=> P>= 1/can82.(9(x+y+z)+9(1/x + 1/y+1/z))
có 9(x+y+z)+9(1/x + 1/y+1/z) = (x+y+z)+80/9(1/x+1/y+1/z) +1/9(1/x+1/y+1/z) >= 85
=> P>=căn 82

 

[asroma11235]

2.Cho x,y,z là các số thự thoả mãn [TEX]x^2+y^2+z^2 \leq 1[/TEX]
Tính Max: [TEX]Q=xy+yz+2zx[/TEX]

Theo Cauchy-Schwars:
[TEX]xy+yz \leq \sqrt{x^2+z^2} . \sqrt{y^2+y^2}[/TEX]
[TEX]=> xy+yz \leq \sqrt{2y^2(x^2+z^2)} = \\sqrt{2y^2(1-y^2)}[/TEX] (1)
Mặt khác: [TEX]2xz \leq x^2+y^2=1-y^2[/TEX] (2)
Từ (1) & (2): [TEX]Q \leq \sqrt{2y^2(1-y^2)} +(1-y^2)[/TEX] (3)
Ta có:
[TEX]\sqrt{2y^2(1-y^2)} + (1-y^2) = \frac{1}{\sqrt{2}} \sqrt{4y^2-4y^4} + \sqrt{1}{2}(1-2y^2)+ \sqrt{1}{2}[/TEX] (4)
Theo Cauchy-schwars:
[TEX][ \frac{1}{\sqrt{2}} \sqrt{4y^2-4y^4} + \sqrt{1}{2}(1-2y^2)]^2 \leq \frac{3}{4}[4y^2-4y^4+(1-2y^2)^2]= 3/4[/TEX]
[TEX]=> \frac{1}{\sqrt{2}} \sqrt{4y^2-4y^4} + \sqrt{1}{2}(1-2y^2) \leq \frac{\sqrt{3}}{2}[/TEX] (5)
Từ (3),(4)&(5) : [TEX]Q \leq \frac{sqrt{3}+1}{2}[/TEX]
Đẳng thức xảy ra <=> [TEX]\left{ x=z=+- \frac{1}{2} \sqrt{1- \frac{1}{\sqrt{3}}} \\ y=+- \sqrt{\frac{1}{2}+ \frac{1}{2 \sqrt{3}}} [/TEX]

 

[physics123]

Giải giúp mình BĐT này với:
Cho a, b, c là độ dài 3 cạnh của một tam giác. Chứng minh rằng:
[TEX]\sqrt{\frac{a}{b+c-a}}+\sqrt{\frac{b}{a+c-b}}+\sqrt{\frac{c}{b+a-c}}\geq \sqrt{\frac{b+c-a}{a}}+\sqrt{\frac{c+a-b}{b}}+\sqrt{\frac{a+b-c}{c}}[/TEX]