Một trong những đề thi chuyên hóc búa

[vocamtu]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Bài 1: Tìm các số hữu tỉ x để [TEX]\frac{\sqrt{x}+2011}{\sqrt{x}+500}[/TEX] nhận giá trị nguyên
Bài 2:
1/Tìm giá trị nhỏ nhất của biều thức A=[TEX]\sqrt{2x^2-2x+5}+\sqrt{2x^2-4x+4}[/TEX]
2/ Tìm m để phương trình (x+1)(x+2)(x+3)(x+4)=m có 4 nghiệm phân biệt
Bài 3: Cho các số thực a[TEX] \ge \[/TEX]0 ;b[TEX] \ge \[/TEX]0; c [TEX] \ge \[/TEX] 3 thỏa mãn a+b+c = 6. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức M= 2012 abc
Bài 4: Cho[TEX]\large\Delta[/TEX] ABC có 3 góc nhọn nội tiếp đường tròn nội tiếp (O;R) có đường cao AH. Các tiếp tuyến của (O) tại B và C cắt nhau tại D. Gọi I và K lần lượt là hình chiếu của A trên DB và DC
a) Chứng minh [TEX]\large\Delta[/TEX]AHI~[TEX]\large\Delta[/TEX]AKI
b) Gọi M, N lần lượt là trung điểm AI, Ak [TEX]\large\Delta[/TEX]ABC phải thỏmẫn điều kiện gì để ta luôn có AH=AM+AN
c) Giả sử AB= R[TEX]\sqrt{2}[/TEX], BC=R[TEX]\sqrt{3}[/TEX] (C nằm cùng phía với A so với bờ OB). Tính AH theo R
Bài 5:
5.1 Một quả bóng hình cầu bán kính 13cm nổi trên mặt hồ đỉnh của quả bóng cao hơn mặt hồ 18cm. Tính độ dài đường tròn tạo thành bới quả bóng và mặt hồ
5.2 Chứng minh rằng với 0< x< 90 ta luôn có
[TEX]\sqrt{\frac{1+sinx}{1-sinx}}-\sqrt{\frac{1-sinx}{1+sinx}}=2tgx[/TEX]

 

[tuyn]

câu 2
1) [TEX]A=\sqrt{2}.[\sqrt{(x-\frac{1}{2})^2+\frac{9}{4}}+\sqrt{(1-x)^2+1})] \geq \sqrt{2}.\sqrt{(x-\frac{1}{2}+1-x)^2+(\frac{3}{2}+1)^2}=\sqrt{13}[/TEX]
Áp dụng BĐT [TEX]\sqrt{a^2+b^2}+\sqrt{c^2+d^2} \geq \sqrt{(a+c)^2+(b+d)^2}[/TEX]
CM= cách bình phương 2 vế
2) [TEX]PT \Leftrightarrow (x^2+5x)(x^2+5x+6)=m \Leftrightarrow [(x+\frac{5}{2})^2-\frac{25}{4}].[(x+\frac{5}{2})^2-\frac{1}{4}]=m[/TEX]
Đặt [TEX]t=(x+\frac{5}{2})^2 \geq 0 \Rightarrow (t-\frac{25}{4}].[t-\frac{1}{4}]=m[/TEX] Để PT theo x có 4 nghiệm pb thì PT theo t có 2 nghiệm dương pb
Câu 3 [TEX]M=2012abc \leq 1006(a+b)^2.c=1006(6-c)^2.c=1006.(6-c).(6-c).c \leq 1006.(6-3).(\frac{6-c+c}{2})^2=1006.27[/TEX] dấu ''='' \Leftrightarrow [TEX]a=b=\frac{3}{2}[/TEX]
câu 5: [TEX]VT=\frac{1+sinx-(1-sinx)}{\sqrt{1-sin^2x}} (x \in (0;\frac{\pi}{2}) \Rightarrow cosx > 0 )=\frac{2sinx}{cosx}=2tanx[/TEX]

 

[01263812493]

Bài 2:
1/Tìm giá trị nhỏ nhất của biều thức A=[TEX]\sqrt{2x^2-2x+5}+\sqrt{2x^2-4x+4}[/TEX]

[TEX]\blue Bai \ 2)[/TEX]
[TEX]\blue 1) A\sqrt{2}=\sqrt{4x^2-4x+10}+\sqrt{4x^2-8x+8}[/TEX]
[TEX]\blue =\sqrt{(2x-1)^2+3^2}+\sqrt{(2-2x)^2+2^2} \geq \sqrt{(2x-1+2-2x)^2+(3+2)^2}=\sqrt{26} \rightarrow A \geq \sqrt{13}[/TEX]
[TEX]\blue "=" \leftrightarrow (2x-1).2=(2-2x).3 \rightarrow x= \frac{4}{5}[/TEX]

Cái BDT wen thuộc này: [TEX]\blue \sqrt{a^2+x^2}+\sqrt{b^2+y^2} \geq \sqrt{(a+b)^2+(x+y)^2}. \ "=" \leftrightarrow ay=bx[/TEX] Cái này wen thuộc nhe bạn và dễ dàng chứng minh

5.2 Chứng minh rằng với 0< x< 90 ta luôn có
[TEX]\sqrt{\frac{1+sinx}{1-sinx}}-\sqrt{\frac{1-sinx}{1+sinx}}=2tgx[/TEX]

[TEX]\blue VT^2= \frac{(1+sin x)^2+(1-sin x)^2}{1- sin^2x}-2= \frac{2+2sin^2x}{cos^2x}-2=\frac{2(1-cos^2x)+2sin^2x}{cos^2x}= \frac{4sin^2x}{cos^2}=4tg^2x=VP^2 \rightarrow dpcm[/TEX]

 

[vocamtu]

Còn bài 5.1 nhờ mọi người giúp đỡ cho ^_^
Thank nhiều

 

[greengrass_1402]

5.1/ l=26pi - (2sin-1(12/13)*26pi)/360 = 51,10527361

 

[sincere97]

Bài 1: Tìm các số hữu tỉ x để [TEX]\frac{\sqrt{x}+2011}{\sqrt{x}+500}[/TEX] nhận giá trị nguyên

ta có: Q=[TEX] \frac{\sqrt[]{x} + 2011}{\sqrt[]{x}+ 500}[/TEX]=[TEX]1+\frac{511}{\sqrt[]{x}+500}[/TEX]

để Q nguyên[TEX] \Rightarrow[/TEX] [TEX]\frac{511}{\sqrt[]{x}+500}[/TEX] nguyên [TEX]\Rightarrow[/TEX] [TEX]\sqrt[]{x}+500[/TEX] thuộc U(511)={+-1:+-511} [TEX]\Rightarrow[/TEX] [TEX]\sqrt[]{x}=11[/TEX] [TEX]\Rightarrow [/TEX]x=121