Toán một số phương pháp tìm nguyên hàm

[vivietnam]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

mấy bài luyện tập nguyên hàm

tính các nguyên hàm sau

[TEX]I_1=\int \frac{e^{2x}dx}{\sqrt[4]{e^x+1}}[/TEX]

[TEX]I_2=\int\frac{dx}{\sqrt{e^x+1}}[/TEX]

[TEX]I_3=\int\frac{\sqrt{lnx+1}}{x}dx[/TEX]

[TEX]I_4=\int \frac{\sqrt{1+lnx}}{x.lnx}dx[/TEX]

[TEX]I_5=\int\sqrt{e^{3x}+e^{2x}}dx[/TEX]

[TEX]I_6=\int \frac{e^{2x}}{\sqrt{e^{4x}+1}}dx[/TEX]

[TEX]I_7=\int\frac{\sqrt{1-x^2}}{x^2}dx[/TEX]

[TEX]I_8=\int\frac{dx}{\sqrt{(x^2+a^2)^3}}dx[/TEX]

[TEX]I_9=\int\frac{dx}{\sqrt{(x^2-a^2)^3}}dx[/TEX]

 

[vivietnam]

Để giúp các bạn tổng hợp kiến thức về phần tích phân,mình xin thống kê một số dạng toán và cách giải.Mong được sự ủng hộ của mọi người

A, Căn thức

I,một số dạng
1, [TEX]A=\int\frac{dx}{\sqrt{a.x^2+bx+c}}[/TEX]
Cách giải:biến đổi về dạng
[TEX]A_1=\int\frac{du}{\sqrt{u^2+k}}=ln|u+\sqrt{u^2+k}|[/TEX]
hoặc về dạng
[TEX]A_2=\int\frac{du}{\sqrt{p^2-(mx+n)^2}}=\frac{arcsin(\frac{mx+n}{p})}{m}[/TEX]

2,[TEX]B=\int\frac{mx+n}{\sqrt{ax^2+bx+c}}dx[/TEX]
[TEX]B=\int \frac{m}{2a}.\frac{2ax+b}{\sqrt{ax^2+bx+c}}dx-\frac{mb}{2a}.\int\frac{dx}{\sqrt{ax^2+bx+c}}=\frac{m}{a}.\sqrt{ax^2+bx+c}-A[/TEX]

3,[TEX]C=\int\frac{dx}{(px+q).\sqrt{ax^2+bx+c}}[/TEX]
đặt [TEX]px+q=\frac{1}{t}\Rightarrow pdx=\frac{-dt}{t^2}[/TEX]
[TEX]x=\frac{1}{p}.(\frac{1}{t}-q}[/TEX]
\Rightarrow [TEX]C=\int\frac{-dt}{pt^2.\frac{1}{t}\sqrt{\frac{a}{p^2}.(\frac{1}{t}-q)^2+\frac{b}{a}(\frac{1}{t}-q)+c}}=-^+\int\frac{dt}{\sqrt{\alpha.x^2+\beta.x+\gamma}}=A[/TEX]

4,[TEX]D=\int\frac{mx+n}{(px+q).\sqrt{ax^2+bx+c}}dx[/TEX]
[TEX]D=\int\frac{\frac{m}{p}.(px+q)+(n-\frac{ma}{p})}{(px+q).(\sqrt{a.x^2+bx+c}}=A+C[/TEX]

5,[TEX]E=\int\frac{x}{(a.x^2+b).\sqrt{cx^2+d}}[/TEX]
đặt [TEX]\sqrt{cx^2+d}=t\Rightarrow t^2=cx^2+d\Rightarrow tdt=cxdx[/TEX]
\Rightarrow [TEX]E=\int\frac{\frac{tdt}{c}}{(a.\frac{t^2-d}{c}+b).t}=\int\frac{dt}{(a.(t^2-d)+ab)[/TEX]

6,[TEX]F=\int\frac{dx}{(a.x^2+b).\sqrt{c.x^2+d}}[/TEX]
đặt [TEX]xt=\sqrt{cx^2+d}\Rightarrow x^2t^2=cx^2+d\Rightarrow x^2=\frac{d}{t^2-c}[/TEX]
\Rightarrow[TEX]xdx=\frac{-d.t.dt}{(t^2-c)^2}[/TEX]
chia cả 2 vế cho [TEX]x^2t[/TEX] ta có
[TEX]\frac{dx}{xt}=\frac{-d.dt}{(t^2-c)^2.x^2}[/TEX]
hay [TEX]\frac{dx}{\sqrt{cx^2+d}}=\frac{-d.dt}{t^2-c}[/TEX]
\Rightarrow[TEX]F=\int \frac{-d.dt}{(t^2-c).(a.\frac{d}{t^2-c}+b)}[/TEX]

7,[TEX]G=\int \frac{mx+n}{(a.x^2+b).\sqrt{cx^2+d}}dx=\int\frac{mx.dx}{(ax^2+b).\sqrt{cx^2+d}}+\int\frac{ndx}{(a.x^2+b).\sqrt{c.x^2+d}}=E+F[/TEX]

II,Phép thế ơ le
khử [TEX]\sqrt{a.x^2+bx+c}[/TEX] bằng 1 trong 3 phép biến đổi sau
1,đặt [TEX]\sqrt{a.x^2+bx+c}=+\sqrt{a}.x+t (a>0)[/TEX]
2,đặt [TEX]\sqrt{a.x^2+bx+c}=tx+\sqrt{c} (c>0)[/TEX]
3,đặt [TEX]\sqrt{a.x^2+bx+c}=t(x-x_o)[/TEX] ([TEX]x_o[/TEX] là nghiệm của phương trình [TEX]a.x^2+bx+c=0[/TEX])

III,
tích phân [TEX]Chebyshe[/TEX]


[tex]Chebyshe\rightarrow F(x) = \int x^m(ax^n +b)^pdx[/tex] : Trong đó [TEX]a , b[/TEX] là các hằng số và [TEX]m , n , p[/TEX] là các số hữu tỷ thì nếu rơi vào một số trường hợp đặc biệt ta làm như sau
[TEX]1[/TEX], Nếu[TEX] p[/TEX] là số nguyên thì có thể đặt [tex] t= \sqrt[s]{x}[/tex] với[TEX] s[/TEX] là bội số chung nhỏ nhất của các mẫu số của[TEX] m[/TEX] và[TEX] n [/TEX]
[TEX]2,[/TEX] Nếu [tex]\frac{m+1}{n}[/tex] là số nguyên thì có thể đặt [tex] t= \sqrt[s]{ax^n+b}[/tex] với [TEX]s[/TEX] là mẫu số của [TEX]p[/TEX] .
[TEX]3,[/TEX] Nếu [tex]\frac{m+1}{n} + p[/tex] là số nguyên thì có thể đặt [tex] t= \sqrt[s]{bx^{-n}+a}[/tex] với [TEX]s[/TEX] là mẫu số của[TEX] p[/TEX]

 

[vivietnam]

IV:
lượng giác hoá tích phân hàm vô tỉ

1,[TEX]I_1=\int f(x,\sqrt{a^2-x^2})dx[/TEX]

đặt [TEX]x=a.sint (t \in [\frac{-\pi}{2};\frac{pi}{2}][/TEX]

2,[TEX]I_2=\int f(x,\sqrt{x^2-a^2})dx[/TEX]

đặt [TEX]x=\frac{a}{cost} (t\in [0;\frac{\pi}{2}] \cup [\pi;\frac{3\pi}{2}])[/TEX]

3, [TEX] I_3=\int f(x,\sqrt{x^2+a^2})dx[/TEX]

đặt [TEX]x=a.tant (t\in [0;\frac{\pi}{2}][/TEX]

4,[TEX]I_4=\int f(x,\sqrt{\frac{x+a}{a-x}})dx[/TEX]

đặt x=a.cos2t [TEX](t\in (0;\frac{\pi}{2}))[/TEX]

5,[TEX]I_5=\int f(x,\sqrt{\frac{x+a}{x-a}})dx[/TEX]

đặt [TEX]x=\frac{a}{cos2t} (t\in(0;\frac{\pi}{2})[/TEX]

6,[TEX]I_6=\int\frac{x,\sqrt{(x-a).(x-b)}}}dx[/TEX]

đặt [TEX]x=a+(b-a).sin^2t (t\in[0;\frac{\pi}{2}][/TEX]

V: một số bài luyện tập
Bài 1:
1,[TEX]I=\int \frac{dx}{\sqrt{x^2-4x+3}}[/TEX]

2,[TEX]J=\int\frac{dx}{\sqrt{4x-x^2+3x}}[/TEX]

3,[TEX]K=\int \frac{3x+2}{\sqrt{x^2-4x+3}}dx[/TEX]

4,[TEX]M=\int\frac{3x+2}{\sqrt{4x-3-x^2}}dx[/TEX]

5,[TEX]N=\int \frac{dx}{(x-1).(sqrt{x^2-2x+2})}dx[/TEX]

6,[TEX]K=\int\frac{dx}{(x-1).\sqrt{x^2+1}}[/TEX]

7,[TEX]A=\int\frac{2x+3}{(x+1).\sqrt{x^2+2x+2}}dx[/TEX]

8,[TEX]B=\int \frac{x.dx}{(4x^2-3)\sqrt{5-x^2}}[/TEX]

9,[TEX]C=\int\frac{4x-5}{(9-4.x-2x^2)\sqrt{3x^2+6x+1}}dx[/TEX]

Bài 2:dùng phép thế ơle tính các nguyên hàm

1,[TEX]I=\int\frac{dx}{x+\sqrt{x^2+x+1}}[/TEX]

2,[TEX]J=\int \frac{dx}{1+\sqrt{1-2x-x^2}}[/TEX]

3,[TEX]K=\int \frac{x-\sqrt{x^2+3x+2}}{x+\sqrt{x^2+3x+2}}dx[/TEX]

4,[TEX]M=\frac{dx}{(x^2+a^2)(x^2-a^2)}[/TEX]

Bài 3:dùng tích phân chebyshe

1,[TEX]I=\int\frac{\sqrt[4]{x}.dx}{1+\sqrt[4]{x^3}}[/TEX]

2,[TEX]J=\int\frac{xdx}{\sqrt{1+\sqrt[3]{x^2}}}[/TEX]

 

[silvery21]

anh quên cái cơ bản nhất : tích phân từng phần


Dạng 1 [TEX]\int\limits_a^b {P(x)\left[ \begin{array}{l}\sin u(x) \\ \cos u(x) \\ {e^{u(x)}} \\ \end{array} \right]dx}[/TEX] . Đặt [TEX]u = P(x)[/TEX] \Rightarrow [TEX]dv = \left[ \begin{array}{l}\sin u(x) \\ \cos u(x) \\ {e^{u(x)}} \\ \end{array} \right]dx[/TEX]


Dạng 2: [TEX] \int\limits_a^b {P(x)\ln xdx}[/TEX] Đặt[TEX] u = lnx , dv = P(x)[/TEX]]]


bài tập


[TEX]\int\limits_1^e {\frac{{1 + x\ln x}}{x}{e^x}dx} [/TEX]

[TEX]\int\limits_0^1 {{e^{ - x}}({x^2} - 2x - 1)dx}[/TEX]

[TEX]\int\limits_{\frac{\pi }{4}}^{\frac{\pi }{3}} {\frac{{\ln (\sin x)}}{{{{\cos }^2}x}}dx}[/TEX]

[TEX]\int\limits_{\frac{1}{2}}^1 {\left( {1 + x - \frac{1}{x}} \right){e^{x + \frac{1}{x}}}dx} [/TEX]

 

[vivietnam]

CÁC TÍCH PHÂN ĐẶC BIỆT

1, Nếu f(x) liên tục và lẻ trên [-a,a] thì:

[tex] \int\limits_{-a}^{a}f(x)dx=0[/tex]



2,Nếu f(x) liên tục trên và là hàm chẵn trên [-a,a] thì:

[tex] \int\limits_{-a}^{a}f(x)dx=2\int\limits_{0}^{a} f(x)dx[/tex]



3,Nếu f(x) liên tục và là chẵn trên R thì:

[tex]\int\limits_{-a}^{a}\frac{f(x)dx}{b^x+1}=\int\limits_{0}^{a}f(x)dx[/tex]

với mọi a thuộc R+ và b>0

4, Nếu f(x) liên tục trên [tex][0;\frac{\pi}{2}][/tex] thì:

[tex]\int\limits_{0}^{\frac{\pi}{2}}f(sinx)dx= \int\limits_{0}^{\frac{\pi}{2}} f(cosx)dx [/tex]



5, Nếu f(x) liên tục và f(a+b-x)=f(x) thì:

[tex]\int\limits_{a}^{b}xf(x)dx=\frac{a+b}{2} \int\limits_{a}^{b} f(x)dx [/tex]



6, Nếu f(x) liên tục và f(a+b-x)=-f(x) thì:

[tex]\int\limits_{a}^{b} f(x)dx=0 [/tex]

7, Nếu f(x) liên tục trên đoạn [0,2a] với a>0 thì:

[tex]\int\limits_{0}^{2a}f(x)dx=\frac{1}{2}\int\limits_{0}^{2a}[f(x)+f(2a-x)]dx[/tex]

 

[naruto_yhn]

Có thể nói rõ về pp thế ole và chebyshe ko
Bạn có thể cho them 1 vai vd thì càng tốt

Nếu a>0, phép thế [tex]\sqrt{ax^2+bx+c}=+(-)\sqrt{a}.x+t[/tex]gọi là phép thế Ơle thứ 1

Nếu c>0, phép thế [tex]\sqrt{ax^2+bx+c}=+(-)\sqrt{c}+tx[/tex]gọi là phép thế Ơle thứ 2

Giả sử [tex]x_0[/tex] là nghiệm của tam thức [tex]\sqrt{ax^2+bx+c}[/tex] thì [tex]\sqrt{ax^2+bx+c}=t(x-x_0)[/tex] gọi là phép thế Ơle thứ 3

 

[vivietnam]

B:Tích phân lượng giác
I; Dạng [TEX] I=\int R(sinx;cosx)dx[/TEX]

+Nếu [TEX]R(sinx;cosx) [/TEX] là hàm lẻ theo sin tức
[TEX]R(-sinx;cosx)=-R(sinx;cosx)[/TEX]
Đặt [TEX]t=cosx[/TEX]

+Nếu [TEX]R(sinx;cosx) [/TEX] là hàm lẻ theo cos tức
[TEX]R(sinx;-cosx)=-R(sinx;cosx)[/TEX]
Đặt [TEX]t=sinx[/TEX]

+Nếu [TEX]R(sinx;cosx) [/TEX] là hàm chẵn tức
[TEX]R(-sinx;-cosx)=R(sinx;cosx)[/TEX]
Đặt [TEX]t=tanx[/TEX]

[TEX]*[/TEX]Trường hợp tổng quát ta đặt [TEX]t=tan(\frac{x}{2})[/TEX]
với [TEX]sinx=\frac{2t}{1+t^2}[/TEX]
[TEX]cosx=\frac{1-t^2}{1+t^2}[/TEX]

[TEX]I_1=\int \frac{dx}{a.sin^2x+b.sinx.cosx+c.cos^2x}[/TEX]
[TEX]I_1=\int\frac{dx}{(\sqrt{a}.sinx+\alpha\.cosx)^2+\beta}=\int\frac{1}{(\sqrt{a}.tanx+\alpha)^2+\beta.(1+tan^2x)}\frac{dx}{cos^2x}=\int\frac{d(tanx)}{(\sqrt{a}.tanx+\alpha)^2+\beta.(1+tan^2x)}=.......[/TEX]


[TEX]I_2=\int\frac{dx}{a.sinx+b.cosx+c}[/TEX]
Đặt [TEX]t=tan(\frac{x}{2})[/TEX]


[TEX]I_3=\int \frac{a.sinx+b.cosx}{msinx+ncosx}dx[/TEX]

biến đổi
[TEX] a.sinx+b.cosx=\alpha(m.sinx+ncosx)+\beta(mcosx-nsinx)[/TEX]
\Rightarrow [TEX] \alpha;\beta[/TEX]
[TEX]\Rightarrow I_3=\int(\alpha+\frac{mcosx-nsinx}{msinx+ncosx})dx[/TEX]

[TEX]I_4=\int \frac{a.sinx+bcosx+c}{msinx+ncosx+p}dx[/TEX]

Biến đổi
[TEX]a.sinx+bcosx+c=\alpha(msinx+ncosx+c)+\beta(mcosx-nsinx)[/TEX]
[TEX]\Rightarrow \alpha;\beta[/TEX]


[TEX]I_5=\int \frac{a.sinx+bcosx}{(msinx+ncosx)^2}dx[/TEX]
Biến đổi [TEX]a.sinx+bcosx=\alpha(msinx+ncosx)+\beta(mcosx-nsinx)[/TEX]
[TEX]\Rightarrow I_4=I_2+\int\frac{d(msinx+ncosx)}{(msinx+ncosx)^2}[/TEX]


[TEX]I_6=\int\frac{a.sin^2x+bsinxcosx+c.cos^2x}{msinx+ncosx}[/TEX]
[TEX]a.sin^2x+bsinxcosx+c.cos^2x=(p.sinx+qcosx)(msinx+ncosx)+r(sin^2x+cos^2x)[/TEX]
[TEX]\Rightarrow p;q;r[/TEX]


[TEX]I_7=\int\frac{dx}{sin(x+a)sin(x+b)}=\frac{1}{sin(a-b)}\int\frac{sin[(x+a)-(x+b)]dx}{sin(x+a)sin(x+b)}=\frac{1}{sin(a-b)}\int(cot(x+b)-cot(x+a))dx[/TEX]


[TEX]I_8=\int\frac{dx}{sin(x+a)cos(x+b)}=\frac{1}{cos(a-b)}\int\frac{cos[(x+a)-(x+b)]dx}{sin(x+a).cos(x+b)}=....[/TEX]
(như [TEX]I_7[/TEX])

[TEX]II[/TEX]:tích phân liên kết
[TEX]I=\int\frac{cosxdx}{a.sinx+b.cosx}[/TEX]
[TEX]J=\int\frac{sinxdx}{a.sinx+b.cosx}[/TEX]

xét hệ [TEX]\left{\begin bI+aJ=x+C_1}\\{aI-bJ=ln|a.sinx+bcosx|+C_2} [/TEX]
[TEX]\Rightarrow I;J[/TEX]

 

[mr_l0n3ly]

mình thấy topic này rất hay, up lên lại cho mn vào tham khảo nè

 

[thelemontree10]

Nói chung, khi ta gặp mấy bài tính tích phân của 1 phân số, ta phải ráng làm sao khiến tử số xuất hiện đạo hàm của mẫu số.

 

[dalicecold]

[TEX]I_4=\int \frac{a.sinx+bcosx+c}{msinx+ncosx+p}dx[/TEX]

Biến đổi
[TEX]a.sinx+bcosx+c=\alpha(msinx+ncosx+c)+\beta(mcosx-nsinx)[/TEX]
[TEX]\Rightarrow \alpha;\beta[/TEX]


chỗ biến đổi hìh như là msinx+ ncosx + p , t thấy trong sách ghi thế mà @_@

 

[quockhanhvietnam]

${I_7} = \int {\dfrac{{\sqrt {1 - {x^2}} }}{{{x^2}}}} dx$
Đặt: $x = \cos t \Rightarrow dx = - \sin tdt$
với $t \in \left[ { - \dfrac{\pi }{2};\dfrac{\pi }{2}} \right]$
${I_7} = \int {\dfrac{{{{\sin }^2}t}}{{{{\cos }^2}t}}dt} = \int {\dfrac{{2\sin t\cos t}}{{{{\cos }^2}t}}} dt = 2\int {\tan tdt = - \ln (\cos t) + C = - \ln (x) + C} $

 

[hoangan2372]

Mình cảm ơn nhiều, lưu lại mai xem, nhưng có 1 vài bài bị lỗi hiển thị không đọc được, mong bạn sửa giúp nhé!