Toán 9 Một số hệ thức lượng trong tam giác vuông

[02-07-2019.]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Cho tứ giác ABCD có AC = 6, BD = 4. Chứng minh rằng:
a, Tồn tại hai cạnh của tứ giác nhỏ hơn 5;
b, Tồn tại một cạnh của tứ giác lớn hơn 3,6.

Mình cảm ơn ạ.

 

[7 1 2 5]

Gọi O là giao điểm của AC và BD.
Ta có: [tex]\left\{\begin{matrix} AO+OD> AD\\ BO+OC> BC \end{matrix}\right.\Rightarrow 10=AC+BD> AD+BC\Rightarrow[/tex] Tồn tại 1 trong 2 cạnh AD,BC < 5.
Tương tự thì [TEX]AB+CD<AC+BD=10[/TEX] nên tồn tại 2 cạnh < 5.
Lấy trung điểm AC là M. Ta có: [tex]MB+MD> BD=4\Rightarrow[/tex] Tồn tại 1 đoạn trong MB,MD > 2.
Giả sử là MD. Vẽ BH vuông với AC. Không mất tính tổng quát giả sử M nằm giữa H và C.
Khi đó [tex]BC^2=BH^2+HC^2=BM^2-MH^2+(MH+MC)^2=BM^2+MC^2+2MH.MC\geq BM^2+MC^2=2^2+3^2=13\Rightarrow BC> 3,6[/tex]

 

[02-07-2019.]

Gọi O là giao điểm của AC và BD.
Ta có: [tex]\left\{\begin{matrix} AO+OD> AD\\ BO+OC> BC \end{matrix}\right.\Rightarrow 10=AC+BD> AD+BC\Rightarrow[/tex] Tồn tại 1 trong 2 cạnh AD,BC < 5.
Tương tự thì [TEX]AB+CD<AC+BD=10[/TEX] nên tồn tại 2 cạnh < 5.
Lấy trung điểm AC là M. Ta có: [tex]MB+MD> BD=4\Rightarrow[/tex] Tồn tại 1 đoạn trong MB,MD > 2.
Giả sử là MD. Vẽ BH vuông với AC. Không mất tính tổng quát giả sử M nằm giữa H và C.
Khi đó [tex]BC^2=BH^2+HC^2=BM^2-MH^2+(MH+MC)^2=BM^2+MC^2+2MH.MC\geq BM^2+MC^2=2^2+3^2=13\Rightarrow BC> 3,6[/tex]

Anh ơi, em hỏi xíu là tại sao phải lấy M là trung điểm AC mà không phải là ở vị trí khác trên AC nhỉ?

 

[7 1 2 5]

Anh ơi, em hỏi xíu là tại sao phải lấy M là trung điểm AC mà không phải là ở vị trí khác trên AC nhỉ?

Nhận thấy được là [tex]3,6\approx \sqrt{(\frac{4}{2})^2+(\frac{6}{2})^3}[/tex], hơn nữa thì lấy trung điểm thì độ dài MA,MC sẽ xác định nhé.

 

[02-07-2019.]

Gọi O là giao điểm của AC và BD.
Ta có: [tex]\left\{\begin{matrix} AO+OD> AD\\ BO+OC> BC \end{matrix}\right.\Rightarrow 10=AC+BD> AD+BC\Rightarrow[/tex] Tồn tại 1 trong 2 cạnh AD,BC < 5.
Tương tự thì [TEX]AB+CD<AC+BD=10[/TEX] nên tồn tại 2 cạnh < 5.
Lấy trung điểm AC là M. Ta có: [tex]MB+MD> BD=4\Rightarrow[/tex] Tồn tại 1 đoạn trong MB,MD > 2.
Giả sử là MD. Vẽ BH vuông với AC. Không mất tính tổng quát giả sử M nằm giữa H và C.
Khi đó [tex]BC^2=BH^2+HC^2=BM^2-MH^2+(MH+MC)^2=BM^2+MC^2+2MH.MC\geq BM^2+MC^2=2^2+3^2=13\Rightarrow BC> 3,6[/tex]

À, em còn thắc mắc một chỗ nữa ạ.
Dòng thứ hai từ dưới lên a, [tex]BM^2+CM^2\geq 2^2+3^2[/tex] mới đúng phải không ạ?
Nếu sai thì em chưa hiểu sao BM = 2 cm ạ?