một số hệ phương trình luyện thi đại học

[n0_0]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

các bạn làm nhé

1.[TEX]\left{\begin{2x^2y+y^3=2x^4+x^6}\\{(x+2)\sqrt{y+1}=(x+1)^2} [/TEX]
2.[TEX]\left{\begin{2+6y=\frac{x}{y}-\sqrt{x-2y}}\\{\sqrt{x+\sqrt{x-2y}}=x+3y-2} [/TEX]
3.[TEX]\left{\begin{\sqrt{11x-y}-\sqrt{y-x}=1}\\{7\sqrt{y-x}+6y-26x=3} [/TEX]

 

[hoanghondo94]

Định không làm toán mà sao vẫn làm , hic

các bạn làm nhé
1.[TEX]\left{\begin{2x^2y+y^3=2x^4+x^6}\\{(x+2)\sqrt{y+1}=(x+1)^2} [/TEX]

Nhận thấy $x=0$ không là nghiệm của hệ

Chia pt(1) cho $x^3$

$=>\frac{2y}{x}+(\frac{y}{x})^3=2x+x^3<=>x^2=y$

2.[TEX]\left{\begin{2+6y=\frac{x}{y}-\sqrt{x-2y}}\\{\sqrt{x+\sqrt{x-2y}}=x+3y-2} [/TEX]

Cách 1: ( cách không hay nhất)

ĐK: $\left\{\begin{array}{l}y \neq 0\\x \geq 2y\\ x \geq - \sqrt{x - 2y}\end{array}\right.$

Từ PT đầu ta có: $(x-2y)-y\sqrt{x-2y}-6y^{2}=0$ (*)
Chia cả hai vế của (*) cho $y^{2}$ và đặt $\sqrt{\frac{x-2y}{y^{2}}}=a\geq 0$, ta được PT sau:
$a^{2}-a-6=0\Leftrightarrow (a-3)(a+2)=0\Leftrightarrow a=3$.
Từ đó suy ra: $\sqrt{x-2y}=3y$ (1), thế vào PT thứ 2, đặt $\sqrt{x+3y}=k\geq 0$ ta được PT sau:
$k^{2}-k-2=0\Leftrightarrow (k+1)(k-2)=0\Leftrightarrow k=2$
Suy ra:$x+3y=4$ (2).
Từ (1) và (2), ta có hệ PT mới sau:
$\left\{\begin{matrix}x-2y=9y^{2} & \\ x+3y=4 & \end{matrix}\right.$


Cách 2:

Ta viết lại : $$2+6y=\frac{x}{y}-\sqrt{x-2y}\Leftrightarrow x-2y-y\sqrt{x-2y}-6{{y}^{2}}=0 \\\\ \Leftrightarrow \left( \sqrt{x-2y}+2y \right)\left( \sqrt{x-2y}-3y \right)=0.$$ Đến đây ta có thể biểu diễn đại lượng $\sqrt{x-2y}$ bởi các biểu thức đơn giản hơn và bài toán đã gần như hoàn thành. Thật vậy:

-Nếu $\sqrt{x-2y}=-2y\, (a)$ thì từ pt thứ hai, ta có: $$\sqrt{x-2y}=x+3y-
2\Leftrightarrow -2y=x+3y-2\Leftrightarrow x=2-5y,$$ tiếp tục thay vào $(a),$ ta có: $\sqrt{2-7y}=-2y,$ giải phương trình này, kết hợp với các điều kiện, ta có nghiệm: $(x,\,y)=(12,\,-2).$

-Nếu $\sqrt{x-2y}=3y\, (b)$ thì từ phương trình thứ hai, ta có: $$\sqrt{x+3y}=x+3y-2\Leftrightarrow \left( \sqrt{x+3y}-2 \right)\left( \sqrt{x+3y}+1 \right)=0\Leftrightarrow x+3y=4,$$ thay vào $(b),$ ta được $\sqrt{4-5y}=3y,$ giải và so sánh điều kiện, ta có nghiệm là: $(x,\, y)=\left(\frac{8}{3},\, \frac{4}{9}\right).$

Cách 3:

Ta có:
$2+6y+\sqrt{x-2y}=\frac{x}{y} \Leftrightarrow 2y + 6y^2 + y\sqrt{x - 2y} = x$

$\Leftrightarrow (x - 2y) - y\sqrt{x - 2y} - 6y^2 = 0 \Rightarrow \dfrac{x - 2y}{y^2} - \dfrac{\sqrt{x - 2y}}{y} - 6 = 0 \,\,\,\, (1)$

Đặt $T = \dfrac{\sqrt{x - 2y}}{y}$, (1) trở thành:
$T^2 - T - 6 = 0 \Leftrightarrow \left[\begin{array}{l} T = 3\\T = - 2\end{array}\right.$

$\Rightarrow \left[\begin{array}{l} \dfrac{\sqrt{x - 2y}}{y}= 3\\\dfrac{\sqrt{x - 2y}}{y} = -2\end{array}\right. \Leftrightarrow \left[\begin{array}{l} \sqrt{x - 2y} = 3y\\\sqrt{x - 2y} = -2y\end{array}\right.$

- Với $\sqrt{x - 2y} = -2y \,\, (y \leq 0)$, ta có PT (2) trở thành:

$\left\{\begin{array}{l}\sqrt{x - 2y} = -2y \\\sqrt{x - 2y} = x + 3y - 2 = 0\end{array}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l}\sqrt{x - 2y} = -2y \\-2y = x + 3y - 2 \end{array}\right.$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l}\sqrt{2 - 7y} = -2y\\x = 2 - 5y\end{array}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l}4y^2 + 7y - 2 = 0\\y \leq 0\\x = 2 - 5y\end{array}\right.$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l}\left[\begin{array}{l} y = -2\\y = \dfrac{1}{4}\end{array}\right.\\y \leq 0\\x = 2 - 5y\end{array}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l}y = -2\\x = 12\end{array}\right.$
- Với $\sqrt{x - 2y} = 3y \,\, (y \geq 0)$, PT (2) trở thành:
$\left\{\begin{array}{l}\sqrt{x - 2y} = 3y\\\sqrt{x + 3y} = x + 3y - 2 \end{array}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l}\sqrt{x - 2y} = 3y\\\left[\begin{array}{l} \sqrt{x + 3y} = - 1\\\sqrt{x + 3y} = 2\end{array}\right.\end{array}\right.$
$\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}\sqrt{x - 2y} = 3y\\\sqrt{x + 3y} = 2\end{array}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l}\sqrt{4 - 5y} = 3y\\x = 4 - 3y\end{array}\right.$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l}9y^2 + 5y - 4 = 0 \\y \geq 0\\x = 4 - 3y\end{array}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l}\left[\begin{array}{l} y = \dfrac{4}{9}\\y = -1\end{array}\right.\\y \geq 0\\x = 4 - 3y\end{array}\right.$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l}y = \dfrac{4}{9}\\x = 4 - 3y\end{array}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l}y = \dfrac{4}{9}\\x = \dfrac{8}{3}\end{array}\right.$

3.[TEX]\left{\begin{\sqrt{11x-y}-\sqrt{y-x}=1}\\{7\sqrt{y-x}+6y-26x=3} [/TEX]

\[\left\{ \begin{array}{l} \sqrt {11x - y} - \sqrt {y - x} = 1{\rm{ }}\left( 1 \right) \\ 7\sqrt {y - x} + 6y - 26x = 3{\rm{ }}\left( 2 \right) \\ \end{array} \right.\]
\[hpt trên \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} \sqrt {11x - y} - \sqrt {y - x} = 1{\rm{ }}\left( 1 \right) \\ 7\sqrt {y - x} + 4y + 2y - 22x - 4x = 3{\rm{ }}\left( 2 \right) \\ \end{array} \right.\]
\[hpt trên \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} \sqrt {11x - y} - \sqrt {y - x} = 1{\rm{ }}\left( 1 \right) \\ 7\sqrt {y - x} + 4(y - x) - 2(11x - y) = 3{\rm{ }}\left( 2 \right) \\ \end{array} \right.\]

Đặt :
$\sqrt{11x - y}$ = B (với A,B lớn hơn hoặc bằng 0)
$\sqrt{y - x} = A$

\[hpt trên \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} B - A = 1{\rm{ }}\left( 1 \right) \\ 7A - 2BB + 4BB = 3{\rm{ }}\left( 2 \right) \\ \end{array} \right.\]

Với hệ trên ta giải ra
A = 1 (Thoả Mãn) và A = -5/2 (loại)
Từ đó có B = 2 và ta có hệ với biến x,y là :
\[\left\{ \begin{array}{l} y - x = 1 {\rm{ }}\left( 1 \right) \\ 11x - y = 4{\rm{ }}\left( 2 \right) \\ \end{array} \right.\]
\[hpt trên \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x = 0,5 {\rm{ }}\left( 1 \right) \\ y = 1,5 {\rm{ }}\left( 2 \right) \\ \end{array} \right.\]
Vật hpt trên có nghiệm $(x;y)$ là $(0,5 ; 1,5)$

 

[n0_0]

hay quá bạn ơi tiếp tục nha bạn..............
4. [TEX]\left{\begin{x^2+y^2+xy+1=4y}\\{y(x+y)^2=2x^2+7y+2} [/TEX]
5. [TEX]\left{\begin{\sqrt{x+1}+\sqrt{y+1}=4}\\{\sqrt{x+6}+\sqrt{y+4}=6} [/TEX]
6. [TEX]\left{\begin{2(2x+1)^3 +2x+1=(2y-3)\sqrt{y-2}}\\{\sqrt{4x+2}+\sqr{2y+4}=6} [/TEX]

 

[hoanghondo94]

hay quá bạn ơi tiếp tục nha bạn..............

Hay bình thường thôi à , có nhiều người học phần hệ siêu đẳng lắm mà chưa lộ diện đó

5. [TEX]\left{\begin{\sqrt{x+1}+\sqrt{y+1}=4}\\{\sqrt{x+6}+\sqrt{y+4}=6} [/TEX]

Cộng trừ 2 vế ta được

$\begin{cases}{\sqrt{x+1} + \sqrt{x+6} + \sqrt{y+1} + \sqrt{y+4} = 10 }\\ \sqrt{x+6} - \sqrt{x+1} + \sqrt{y+4} - \sqrt[]{y+1} = 2 \end{cases}$

Đặt u = $\sqrt{x+1} + \sqrt{x+6}$ ; $v = \sqrt{y+1} + \sqrt{y+4}$

Ta được hệ : $\begin{cases}{u + v = 10} \\ {\frac{5}{u} + \frac{5}{v} = 2 }\end{cases}$

$=>\begin{cases} u = 5\\v = 5\end{cases}$

$continue , he $

6. [TEX]\left{\begin{2(2x+1)^3 +2x+1=(2y-3)\sqrt{y-2}}\\{\sqrt{4x+2}+\sqr{2y+4}=6} [/TEX]

Điều kiện: $x \ge -\frac{1}{2}, y\ge 2$
Từ phương trình $(1)$ ta có:
$$2(2x+1)^3+2x+1=2(\sqrt{y-2})^3+\sqrt{y-2}$$
Xét hàm số: $f(t)=2t^3+t$ với $t\ge 0$ có $f'(t)=6t^2+1>0$. Suy ra hàm đã cho đồng biến.
Từ đó ta có:
$f(2x+1)=f(\sqrt{y-2}) \Rightarrow 2x+1=\sqrt{y-2}$
Thay vào phương trình dưới. Đơn giản rồi

4. [TEX]\{{x^2+y^2+xy+1=4y}\\{y(x+y)^2=2x^2+7y+2} [/TEX]

Bài hay nhất giải cuối cùng , lại nghĩ ra được 2 cách rồi ( thực ra lúc làm bài thi nghĩ ra cách nào thì hay cách ấy , bây giờ có đứa rảnh quá thì nghĩ ra 3 cách =)) )

Cách 1:
$\left\{\begin{matrix} x^{2}+y^{2}+xy+1=4y(1)& \\ y(x+y)^{2}=2x^{2}+7y+2(2)& \end{matrix}\right.$
Nhân 2 vào hai vế pt (1) rồi cộng vào pt (2)
=> $y(x+y)^{2}+2x^{2}+2y^{2}+2xy+2=8y+2x^{2}+7y+2$
<=>$y(x+y)^{2}+2y(x+y)-15y=0$ (*)
vì $ y=0 hệ vô nghiệm $
(*) <=> $ (x+y)^2 +2(x+y) -15 =0 $
<=> $x+y =3; x+y=-5$


Cách 2: ( Cách này có vẻ không tự nhiên cho lắm )

Để ý một tý thì ta thấy rằng hai phương trình của hệ có một điểm đặc biệt đó là
chỗ $x^2+1$ ở phương trình đầu tiên và $2x^2+2$ ở phương trình thứ hai!
Như thế khi ta nhân phương trình đầu với $2$ sẽ khử được $x^2+1$ và rút được $y$ ra ngoài
và như vậy bài toán có thể sẽ khả quan hơn!Làm như thế ta thu được phương trình: $$y[(x+y)^2+2(x+y)-15]=0$$ Đến đây chắc là đơn giản rồi ..
Chỉ cần xét từng trường hợp riêng nữa là Okie...



Cách 3: Cách tớ nghĩ là hay nhất , trình bày hoàn thiện luôn nè

- Nhận xét $y=0$ hệ phương trình đã cho vô nghiệm
- Với $y \neq 0$ ta chia hai vế của hai phương trình trong hệ ta thu được hệ mới : $\begin{cases}\frac{x^2}{y}+(x+y) + \frac{1}{y}=4 \\ (x+y)^2=\frac{2x^2}{y}+7+\frac{2}{y} \end{cases}$ $ \Leftrightarrow \begin{cases}\frac{x^2}{y}+\frac{1}{y}+(x+y) =4 \\ (x+y)^2=2\left(\frac{x^2}{y}+\frac{1}{y} \right)+7 \end{cases}$
Đặt : $ \begin{cases} a = \frac{x^2}{y}+ \frac{1}{y} \\ b =x+y \end{cases}$. Lúc đó ta thu được hệ phương trình mới : $ \begin{cases}a+b=4\\b^2=2a+7 \end{cases} $ $\Leftrightarrow \begin{cases} a=4-b \\ b^2+2b-15=0 \end{cases}$ $\Leftrightarrow \left [ \begin {matrix}{\begin {cases} a=1\\b=3 \end{cases}} \\ {\begin {cases} a=9 \\b=-5 \end{cases}} \end{matrix} \right.$

-Trường hợp 1 . Với $\begin {cases} a=1\\b=3 \end{cases}$ $ \Leftrightarrow \begin{cases} \frac{x^2}{y}+\frac{1}{y}=1 \\ x+y=3 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} x^2+1=y \\ x+y=3 \end{cases} $ $ \Leftrightarrow \begin{cases} x^2+1=y \\ x^2+x-2=3\end{cases}$
$\Leftrightarrow \left [ \begin {matrix}{\begin {cases} x=1\\y=2 \end{cases}} \\ {\begin {cases} x=-2 \\y=5 \end{cases}} \end{matrix} \right.$

-Trường hợp 2 . Với Với $\begin {cases} a=9\\b=-5\end{cases}$ $ \Leftrightarrow \begin{cases} \frac{x^2}{y}+\frac{1}{y}=9 \\ x+y=-5 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} x^2+1=9y \\ x+y=-5 \end{cases} $
$ \Leftrightarrow \begin{cases} x^2+9x+46=0 \\ y=-5-x\end{cases}$ ( Hệ này vô nghiệm)
Vậy hệ phương trình đã cho có hai nghiệm $(x;y) = \left \{ (1;2) ; (-2;5) \right \}$


Ôi , mình đã cố để không đặt chân vào đây nữa mà .( ...(, ,

 

[maxqn]

Btĩnh mấy bác. Đang trong gđoạn ôn thi TN, đừng làm e quíu =))

 

[n0_0]

xong bạn đã trở thành thần tượng của tớ^^
tiếp tục bạn nhé một bài nữa nhé
[TEX]\left{\begin{y^2+(4x-1)^2=\sqrt[3]{4x(8x+1)}}\\{40x^2+x=y\sqrt{14x-1}} [/TEX]

 

[hoanghondo94]

xong bạn đã trở thành thần tượng của tớ^^
tiếp tục bạn nhé một bài nữa nhé
[TEX]\left{\begin{y^2+(4x-1)^2=\sqrt[3]{4x(8x+1)}}\\{40x^2+x=y\sqrt{14x-1}} [/TEX]

Trời đất , cảm ơn bạn... .

...vì lời khen của bạn..tớ làm nốt bài này...( bài cuối nhé , tớ đang cai Toán = nghiện mất rồi ( )

Điều kiện: $x \ge \frac{1}{14}.$
Sử dụng bất đẳng thức AM-GM, ta có $$40x^2+x=y \sqrt{14x-1} \le \frac{y^2+(14x-1)}{2}.$$ Suy ra $$y^2 \ge 2(40x^2+x)-(14x-1)=80x^2-12x+1.$$ Từ đây, ta thu được $$\sqrt[3]{32x^2+4x} =y^2+(4x-1)^2 \\\\ \ge (80x^2-12x+1) +(4x-1)^2=96x^2-20x+2=2(48x^2-10x+1).$$

Mặt khác, cũng theo bất đẳng thức AM-GM thì $$\sqrt[3]{32x^2+4x} \le \frac{(32x^2+4x)+1+1}{3} =\frac{2(16x^2+2x+1)}{3}.$$
Như vậy, ta có $$3(48x^2-10x+1) \le 16x^2+2x+1,$$ tức $$128x^2 -32x +2 \le 0.$$
Tuy nhiên, ta lại thấy $128x^2-32x+2=2(8x-1)^2 \ge 0$ nên điều trên xảy ra khi và chỉ khi $x=\frac{1}{8}.$ Vậy ta có $x=\frac{1}{8}.$ Thay vào phương trình thứ hai của hệ, ta tìm được $y=\frac{\sqrt{3}}{2}.$ Mặt khác, dễ thấy bộ $(x,\,y)=\left(\frac{1}{8},\, \frac{\sqrt{3}}{2}\right)$ cũng thỏa mãn phương trình thứ nhất của hệ nên hệ đã cho có nghiệm duy nhất $(x,\,y)=\left(\frac{1}{8},\, \frac{\sqrt{3}}{2}\right).$



Kiểm tra lại nghiệm hộ tớ xem đúng chưa nhé , độ ni đang crazy ..........

 

[n0_0]

mình không biết nói gì hơn cảm ơn bạn nhìu nhé! bạn đúng là thần tượng của mình.không biết mình phải cày bao nhiêu nữa mới có thể bằng một phần của bạn đây.....đẳng cấp thật^^

 

[hocmaitranphuong]

câu 1 được [TEX](x+2)\sqrt[]{X^2+1}=(x+1)^2[/TEX] sau làm tiếp như thế nào ?

 

[n0_0]

câu 1 được [TEX](x+2)\sqrt[]{X^2+1}=(x+1)^2[/TEX] sau làm tiếp như thế nào ?

đến đây rồi thì để mình=))
<=>[TEX](x+2)\sqrt{x^2+1}=(x^2+1)+2(x+2)-4[/TEX]
<=>[TEX](\sqrt{x^2+1}-2)((x+2)-(\sqrt{x^2+1}+2))=0[/TEX]
đến đây thì rễ rồi nhé