Một số đề vô địch bất đẳng thức thế giới

[luckystudent97]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

1:Cho 0 \leq x,y \leq 1
CMR:[TEX]\sqrt{1 + x^2} - sqrt{1 - y^2} - sqrt{(1 - x)^2) + ( 1 - y )^2 } \geq (1-\sqrt{5})(1 - xy)[/TEX]
2 :Cho các số thực a,b,c,x,y,z thỏa mãn:
( a - b + c )( x + y + z ) = (a^2 + b^2 +c^2)(x^2 + y^2 + z^2) - 4
CMR: [TEX]abcxyz < \frac{1}{36}[/TEX]
(Đề hay thì ủng hộ nhé lần sau thank cho mình nha )

Bạn nên post vào top pic này : http://diendan.hocmai.vn/showthread.php?t=136209

 

[bboy114crew]

1:Cho 0 \leq x,y \leq 1
CMR:[TEX]\sqrt{1 + x^2} - sqrt{1 - y^2} - sqrt{(1 - x)^2) + ( 1 - y )^2 } \geq (1-\sqrt{5})(1 - xy)[/TEX]
2 :Cho các số thực a,b,c,x,y,z thỏa mãn:
( a + b + c )( x + y + z ) = (a^2 + b^2 +c^2)(x^2 + y^2 + z^2) - 4
CMR: [TEX]abcxyz < \frac{1}{36}[/TEX]
(Đề hay thì ủng hộ nhé lần sau thank cho mình nha )

Làm được bài này!
2)
Ta có:
Theo AM-GM ta có:
[TEX]4(\sum ab)(\sum xy)=[(a+b+c)^2-\sum a^2][(x+y+z)^2-\sum x^2][/TEX]

[TEX]= 20- (a+b+c)^2 \sum x^2-(x+y+z)^2\sum a^2[/TEX]
[TEX]\leq 20- 2\sqrt{(a+b+c)^2 (\sum x^2).(x+y+z)^2(\sum a^2})}[/TEX]
\Rightarrow [TEX](\sum ab)(\sum xy) \leq 1[/TEX]
Mặt khác ta lại có:
[TEX](\sum ab)^2 \geq 3abc(a+b+c); (\sum xy)^2 \geq 3xyz(x+y+z)[/TEX]
\Rightarrow [TEX](\sum ab)^2(\sum xy)^2 \geq 9abcxyz(a+b+c)(x+y+z)[/TEX]
\Rightarrow [TEX]abcxyz \leq 36[/TEX]
Mà dấu = không xảy ra \Rightarrow Q.E.D