Một số câu trong đề thi olympic toán Ireland 1988-1989

[cuong131hv]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Bài 1)1/Có hay không số tự nhiên khác 0 vùa là tích của 2 số tự nhiên liên tiếp vừa là tích của 4 số tự nhiên liên tiếp
2/Tìm tất cả các số tự nhiên x,y,z thỏa mãn 2010^x+2011^y=2012^z
3/Tìm nghiệm nguyên của phương trình x^4-2*y^2=1
Bài 2)
1/Giải phương trình 2\sqrt[2]{x+1}+6\sqrt[2]{(x+1)(9-X^2}=38+10x-2x^2-x^3
2/Cho a>0, b>0 và a+b=1.Chứng minh \frac{1}{ab}+\frac{1}{a^2+b^2}\geq 6
Bài 3) cho hình thoi ABCD. Gọi R, r lần lượt là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABD, tam giác ABC và a là độ dài cạnh của hình thoi. Chứng minh rằng \frac{1}{R^2}+\frac{1}{r^2}=\frac{4}{a^2}
(Mong mọi người giải một cách rõ ràng)

 

[eye_smile]

2,$\dfrac{1}{2ab}+\dfrac{1}{2ab}+\dfrac{1}{a^2+b^2} \ge \dfrac{4}{(a+b)^2}+\dfrac{1}{2ab} \ge 4+\dfrac{1}{2.\dfrac{1}{4}}=6$

Dấu "=" xảy ra \Leftrightarrow $a=b=\dfrac{1}{2}$

1.2:http://diendan.hocmai.vn/showthread.php?p=2000607

 

[eye_smile]

1.3: Gỉa sử $x;y \ge 0$ (do x;y đều số mũ chẵn)

\Rightarrow x lẻ

\Rightarrow $x^4$ chia cho 4 dư 1

\Rightarrow $y^2$ chẵn

\Rightarrow y chẵn

Đặt $x=2u+1;y=2t$ (u;t là stn)

\Rightarrow $8t^2=(4u^2+4u+2)(4u^2+4u)$

\Leftrightarrow $(2u^2+2u+1)(u^2+u)=t^2$

Đặt $u^2+u=a$

\Rightarrow $(2a+1)a=t^2$

+u=0 \Rightarrow (x;y)=(1;0)

+$u \ge 1$ \Rightarrow $a;2a+1$ là số chính phương

\Rightarrow ktm

Vậy có 2nghiệm