Một số bài toán về tính chia hết

[fujchan]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

1.Cho k là số tự nhiên k thuộc N*.CMR:
[TEX]A=k^5-k[/TEX]
A chia hết cho 30

2.Cho a1,a2,...an thuộc N* và có tổng chia hết cho 3.CMR:
[TEX] B=a1^3+a2^3+...+an^3 [/TEX] chia hết cho 3
và [TEX]a1+a2+...+an[/TEX] cũng chia hết cho 3

3.Cho k là số tự nhiên chẵn.CMR:
[TEX] C=k^2+20k[/TEX] chia hết cho 48

4.Cho 6 số tự nhiên thuộc N* và
[TEX] a1^2+a2^2+...+a5^2=a6^2[/TEX] .CMR:
6 số trên cùng là số lẻ

tks mn nhiều nhiều:-*:-*:-*

 

[kool_boy_98]

Tạm câu 1 nhé!


$k^5 - k = k( k^4 - 1 ) = k(k^2 - 1 )(k^2 + 1 ). ( 1 )$

* Với $k = 5n$ ($ n \in N* $) thì $( k^5 - k ) \vdots 5.$
* Với $k = 5n + 1 ( n \in N* )$ thì $( k^5 - k ) = (3125x^5 + 3125x^4 + 1250x^3 + 250x^2 + 20x) \vdots 5.$
* Với $k = 5n - 1 ( n \in N* )$ thì $( k^5 - k ) = (3125x^5 - 3125x^4 + 1250x^3 - 250x^2 + 20x) \vdots 5.$
* Với $k = 5n + 2 ( n \in N* )$ thì $( k^5 - k ) = (3125x^5 + 6250x^4 + 5000x^3 + 2000x^2 + 395x + 30) \vdots 5.$
* Với $k = 5n - 2 ( n \in N* )$ thì $( k^5 - k ) = (3125x^5 - 6250x^4 + 5000x^3 - 2000x^2 + 395x - 30) \vdots 5.$
Suy ra ta có $( k^5 - k ) \vdots 5$. (*)

Mà ( 1 ) tương đương $k( k - 1 )( k + 1 )(k^2 + 1 )$ với $k( k - 1 )( k + 1 )$ là tích của 3 số tự nhiên liên tiếp nên $( k^5 - k )$ luôn chia hết cho 6. (*)(*)

Từ (*) và (*)(*) ta có được $( k^5 - k ) \vdots 30$ \forall $n \in N*$

 

[kool_boy_98]

3.Cho k là số tự nhiên chẵn.CMR:
[TEX] C=k^2+20k[/TEX] chia hết cho 48

Câu này có vẻ đề sai! :-S

Phải là $k^3+20k$ chứ nhỉ?

Tham khảo bài này nhé!

Cách của em trình bày ngắn hơn :
Vì m là số chẵn
\Rightarrow m = 2k
\Rightarrow [TEX]{m}^{3}[/TEX] + 20m = [TEX]{(2k)}^{3}+40k[/TEX]
[TEX]{m}^{3}+20m=8({k}^{3}+5k)=8[({k}^{3}-k)+6k]=8({k}^{3}-k)+48k[/TEX]
Ta có : [TEX]({k}^{3}-k)[/TEX] chia hết cho 6
\Rightarrow [TEX]8({k}^{3}-k)[/TEX] chia hết cho 48 và 48k chia hết cho 48

 

[harrypham]

Tạm câu 1 nhé!


$k^5 - k = k( k^4 - 1 ) = k(k^2 - 1 )(k^2 + 1 ). ( 1 )$

* Với $k = 5n$ ($ n \in N* $) thì $( k^5 - k ) \vdots 5.$
* Với $k = 5n + 1 ( n \in N* )$ thì $( k^5 - k ) = (3125x^5 + 3125x^4 + 1250x^3 + 250x^2 + 20x) \vdots 5.$
* Với $k = 5n - 1 ( n \in N* )$ thì $( k^5 - k ) = (3125x^5 - 3125x^4 + 1250x^3 - 250x^2 + 20x) \vdots 5.$
* Với $k = 5n + 2 ( n \in N* )$ thì $( k^5 - k ) = (3125x^5 + 6250x^4 + 5000x^3 + 2000x^2 + 395x + 30) \vdots 5.$
* Với $k = 5n - 2 ( n \in N* )$ thì $( k^5 - k ) = (3125x^5 - 6250x^4 + 5000x^3 - 2000x^2 + 395x - 30) \vdots 5.$
Suy ra ta có $( k^5 - k ) \vdots 5$. (*)

Mà ( 1 ) tương đương $k( k - 1 )( k + 1 )(k^2 + 1 )$ với $k( k - 1 )( k + 1 )$ là tích của 3 số tự nhiên liên tiếp nên $( k^5 - k )$ luôn chia hết cho 6. (*)(*)

Từ (*) và (*)(*) ta có được $( k^5 - k ) \vdots 30$ \forall $n \in N*$

Em nghĩ chứng minh $k^5-k$ chia hết cho $5$ không nhất thiết đưa về số "khủng" như vậy đâu anh.


[*] Nếu $k=5n$ thì $k^5-n \ \vdots 5$.

[*] Nếu $k=5n \pm 1$ thì $k^2-1 \ \vdots 5 \implies k(k^2+1)(k^2-1) \ \vdots 5 \implies k^5-k \ \vdots 5$.

[*] Nếu $k=5n \pm 2$ thì $k^2+1 \ \vdots 5 \implies k(k^2+1)(k^2-1) \ \vdots 5 \implies k^5-k \vdots 5$


2. Theo đề thì $A=a_1+a_2+...+a_n \ \vdots 3$.
Ta cũng có $B-A= \left( a_1^3+a_2^3+...+a_n^3 \right) - \left( a_1+a_2+...+a_n \right) = \left( a_1^3-a_1 \right) + \left( a_2^3-a_2 \right) +...+ \left( a_n^3-a_n \right)$

Dễ chứng minh $n^3-n=n(n^2-1)=n(n-1)(n+1)$ chia hết cho $3$ với $n \in \mathbb{Z}$. Do đó $B-A \ \vdots 3$.
Và $A \vdots 3 \implies B \vdots 3$. $\square$

4. Mình không nghĩ cả 6 số có thể lẻ.

 

[khaitien]

Tạm câu 1 nhé!


$k^5 - k = k( k^4 - 1 ) = k(k^2 - 1 )(k^2 + 1 ). ( 1 )$

* Với $k = 5n$ ($ n \in N* $) thì $( k^5 - k ) \vdots 5.$
* Với $k = 5n + 1 ( n \in N* )$ thì $( k^5 - k ) = (3125x^5 + 3125x^4 + 1250x^3 + 250x^2 + 20x) \vdots 5.$
* Với $k = 5n - 1 ( n \in N* )$ thì $( k^5 - k ) = (3125x^5 - 3125x^4 + 1250x^3 - 250x^2 + 20x) \vdots 5.$
* Với $k = 5n + 2 ( n \in N* )$ thì $( k^5 - k ) = (3125x^5 + 6250x^4 + 5000x^3 + 2000x^2 + 395x + 30) \vdots 5.$
* Với $k = 5n - 2 ( n \in N* )$ thì $( k^5 - k ) = (3125x^5 - 6250x^4 + 5000x^3 - 2000x^2 + 395x - 30) \vdots 5.$
Suy ra ta có $( k^5 - k ) \vdots 5$. (*)

Mà ( 1 ) tương đương $k( k - 1 )( k + 1 )(k^2 + 1 )$ với $k( k - 1 )( k + 1 )$ là tích của 3 số tự nhiên liên tiếp nên $( k^5 - k )$ luôn chia hết cho 6. (*)(*)

Từ (*) và (*)(*) ta có được $( k^5 - k ) \vdots 30$ \forall $n \in N*$

Đây là cách giải bài 1 của mình , mod thấy hay cho đúng cái nhá.
[TEX]k^5-k[/TEX]
=[TEX]k(k-1)(k+1)(k^2+1)[/TEX]
=[TEX] k(k-1)(k+1)(k^2-4) + 5 k(k-1)(k+1)[/TEX]
= [TEX] k(k-1)(k+1)(k-2) (k+2)+ 5 k(k-1)(k+1)[/TEX]
Do k-2;k-1;k;k+1;k+2 là 5 số nguyên liên tiếp
\Rightarrow [TEX]k(k-1)(k+1)(k-2) (k+2) \vdots 5;2;3[/TEX] và [TEX]5 k(k-1)(k+1) \vdots 5,2,3[/TEX]
\Rightarrow [TEX]k(k-1)(k+1)(k-2) (k+2) \vdots 30[/TEX] [TEX]5 k(k-1)(k+1) \vdots 30[/TEX]
[TEX]k^5-k \vdots 30[/TEX]

 

[fujchan]

kéo cái topic lên cái nào, ui ui
tks mn nhiều nha