Toán 9 Một số bài toán về căn bậc hai, dãy tính có quy luật

[Farblos]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

1. Cho 100 số: [tex]a_{1}, a_{2},...,a_{100}[/tex] là 100 số tự nhiên sao cho ta có: [tex]\frac{1}{\sqrt{a_{1}}}+\frac{1}{\sqrt{a_{2}}}+\frac{1}{\sqrt{a_{3}}}+...+\frac{1}{\sqrt{a_{100}}}=20[/tex]
Chứng minh rằng: Tồn tại ít nhất 2 số bằng nhau.
2. Chứng minh các BĐT:
a. [tex]\frac{1}{3(\sqrt{1}+\sqrt{2})}+\frac{1}{5(\sqrt{2}+\sqrt{3})}+\frac{1}{7(\sqrt{3}+\sqrt{4})}+...+\frac{1}{4003(\sqrt{2001}+\sqrt{2002})}< \frac{2001}{2003}[/tex]
b. [tex]\frac{1}{1^{2}+2^2}+\frac{1}{2^{2}+3^2}+\frac{1}{3^{2}+4^2}+...+\frac{1}{2002^{2}+2003^2}< \frac{1}{2}[/tex]

 

[Tư Âm Diệp Ẩn]

1. Giả sử trong 100 số tự nhiên không tồn tại 2 số nào bằng nhau. Không mất tính tổng quát, giả sử a1 < a2 < ....< a100
Suy ra [tex]a_{1}\geq 1;a_{2}\geq 2; .....a_{100}\geq 100[/tex]
[tex]\Rightarrow \frac{1}{\sqrt{a_{1}}}+\frac{1}{\sqrt{a_{2}}}+\frac{1}{\sqrt{a_{3}}}+....+\frac{1}{\sqrt{a_{100}}}\leq \frac{1}{1}+\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{3}}+....+\frac{1}{\sqrt{100}}[/tex] (1)
Lại có:
[tex]\frac{1}{\sqrt{1}}+\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{3}}+...+\frac{1}{\sqrt{100}}<2\sqrt{100}-\frac{1}{\sqrt{1}}=2\sqrt{100}-1=19<20[/tex] (2)
Từ (1) và (2) suy ra biểu thức < 20, trái với giả thiết.
Vậy tồn tại ít nhất hai số bằng nhau

 

[Trang Ran Mori]

1.
Giả sử a1,a2...a100 là 100 số tự nhiên khác nhau.
Ta sẽ có: 1/ căn a1.....+ 1/ căn a100 <= 1/ căn 1 + 1/ căn 2+....+ 1/ căn 100
Với mọi n>=2 ta có: 1/ căn n = 2/ căn n + căn n < 2 / căn n + căn (n-1) = 2( căn n - căn (n-1))
=> 1/căn 1 +...1/ căn 100= 1+2 (căn 2 - căn 1 + căn 3 - căn 2 +....+ căn 100- căn 99) = 19
=> 1/ căn a1 +...1/ căn a100 < 19
Mà theo bài ra ta có: 1/ căn a1+...1/căn 100 =20
=> đpcm