một số bài toán về BĐT

[deat_stock]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

1.cho m,n là các số tự nhiên thỏa [TEX]\sqrt{6}-\frac{m}{n}[/TEX]>0,CMR
[TEX]\sqrt{6}-\frac{m}{n}[/TEX] > [TEX]\frac{1}{2mn}[/TEX]
2.cho x,y,z>0 và x+y+z=3. CMR [TEX]\frac{2x^2+y^2+z^2}{4-yz}[/TEX]+[TEX]\frac{x^2+2y^2+z^2}{4-xz}[/TEX]+[TEX]\frac{x^2+y^2+2z^2}{4-xy}[/TEX] [TEX]\geq[/TEX] 4xyz
3.

 

[demon311]

Câu 1 là câu về stn hay nhất mình từng gặp:
Xét bpt: $6n^2-\sqrt{6}n-(m^2-m+1)>0$
$\Delta = 6+24(m^2-m+1)>0$ \forall $m$
\Rightarrow $6n^2-m^2-\sqrt{6}n+m>1$
$(\sqrt{6}n-m)(\sqrt{6}n+m)-(\sqrt{6}n-m)>1$
$6n^2-m^2-(\sqrt{6}n-m)>1$
Ta có: Với a,b,c dương thì:

$\dfrac{a}{b}>\dfrac{a-c}{b-c}$
Với $a=6n^2-m^2;b=\sqrt{6}n+m;c=\sqrt{6}n-m$ ta được:

$\dfrac{6n^2-m^2}{\sqrt{6}n+m}> \dfrac{(\sqrt{6}n-m)(\sqrt{6}n+m)-(\sqrt{6}n-m)}{2m}>\dfrac{1}{2m}$
\Leftrightarrow $\sqrt{6}n-m>\dfrac{1}{2m}$
$\sqrt{6}-\dfrac{m}{n}>\dfrac{1}{2mn}$

 

[eye_smile]

2,Giải tại đây:http://diendan.hocmai.vn/showthread.php?t=355791

 

[congchuaanhsang]

1, $\sqrt{6}-\dfrac{m}{n}$>0 \Leftrightarrow $\sqrt{6}n$>$m$ \Leftrightarrow

$6n^2$\geq$m^2+1$

Nếu $6n^2=m^2+1$ thì $m^2+1$ chia hết cho 3 \Rightarrow $m^2$ chia 3 d 2 (vô lý)

\Rightarrow $6n^2$\geq$m^2+2$

Lại có $(m+\dfrac{1}{2m})^2=m^2+1+\dfrac{1}{4m^2}$<$m^2+2$<$6n^2$

\Rightarrow đpcm