Toán Một số bài toán về BĐT 8

[BhofA]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Cho a,b,c>0 thỏa mãn a+b+c=3. Hãy cmr:
a) a^2/(a+2b^2) + b^2/(b+2c^2) + c^2/(c+2a^2) >= 1
b) a^2/(a+2b^3) + b^2/(b+2c^3) + c^2/(c+2a^3) >= 1

 

[Nguyễn Xuân Hiếu]

Cho a,b,c>0 thỏa mãn a+b+c=3. Hãy cmr:
a) a^2/(a+2b^2) + b^2/(b+2c^2) + c^2/(c+2a^2) >= 1
b) a^2/(a+2b^3) + b^2/(b+2c^3) + c^2/(c+2a^3) >= 1

a)Ta có đánh giá sau:
$\dfrac{a^2}{a+2b^2}
\\=\dfrac{a(a+2b^2)-2ab^2}{a+2b^2}
\\=a-\dfrac{2ab^2}{a+b^2+b^2}
\\\geq a-\dfrac{2ab^2}{3\sqrt[3]{ab^4}}
\\\geq a-\dfrac{2\sqrt[3]{a^2b^2}}{3}
\\\geq a-\dfrac{2(a+b+ab)}{3.3}
\\=a-\dfrac{2}{81}(a+b+ab)
\\\Rightarrow \sum \dfrac{a^2}{a+2b^2} \geq a+b+c-\dfrac{2}{9}[2(a+b+c)+ab+bc+ca]
\\\geq 3-\dfrac{2}{9}(2.3+\dfrac{(a+b+c)^2}{3})
\\=3-\dfrac{2}{9}(6+3)
\\=1$.
Dấu '=' khi $a=b=c=1$.
b)Tương tự bạn làm như trên để ý để đánh giá dưới mẫu lớn hơn hoặc bằng thì phải sử dụng kĩ thuật AM-GM ngược dấu.
$\dfrac{a^2}{a+2b^3}
\\=\dfrac{a(a+2b^3)-2ab^3}{a+2b^3}
\\=a-\dfrac{2ab^3}{a+2b^3}$

 

[giaphat99]

Cho x,y,z > 0, x+y+z=2016. Chứng minh rằng \frac{x^{2}}{y}+\frac{y^{2}}{z}+\frac{z^{2}}{x}\geqslant 2016