Một số bài toán về bất đẳng thức

[thientai_giangnamhaokiet]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

1.CMR: [tex]\frac{2(x+y+z)}{\sqrt[3]{xyz} } \le \ 1[/tex]
3.x,y,z>0,[TEX]x^2+y^2+z^2=3[/TEX].CM
[tex]\frac{xy}{z}+\frac{zy}{x}+\frac{xz}{y}\ge \ [/tex] 3
4.Cho a+b+c=3,a,b,c>0.Cm:
[TEX]\frac{a}{1+b^2}+\frac{b}{1+c^2}+\frac{c}{1+a^2}\ge \ \frac{3}{2} [/TEX]
5.Cho 4 số tm:a,b,c,d>0 và a+b+c+d=4.Cm
[TEX]\frac{a}{1+b^2c}+\frac{b}{1+c^2d}+\frac{c}{1+d^2a}+\frac{d}{1+a^2b}\ge \[/TEX]2
6.[TEX]\frac{a^3}{a^2+b^2}+\frac{b^3}{b^2+c^2}+\frac{c^3}{c^2+d^2}+\frac{d^3}{d^2+a^2}\ge \ \frac{a+b+c+d}{2}[/TEX]
7.a,b,c[TEX]\ge \[/TEX],a+b+c=3.CMR:
[TEX]\frac{a^2}{1+2b^2}+\frac{b^2}{1+2c^2}+\frac{c^2}{1+2d^2}+\frac{d^2}{1+2a^2}\ge \ [/TEX] 1
8.a,b,c[TEX]\ge \[/TEX],a+b+c=3.CMR:
[TEX]\frac{a^2}{1+2b^3}+\frac{b^2}{1+2c^3}+\frac{c^2}{1+2d^3}+\frac{d^2}{1+2a^3}\ge \ [/TEX] 1
9.a,b,c,d>0,a+b+c+d=4.CMR:
[TEX]\frac{a+1}{1+b^2}+\frac{b+1}{1+c^2}+\frac{c+1}{1+d^2}+\frac{d+1}{1+a^2}\ge \ [/TEX] 4

 

[vngocvien97]

4.Cho a+b+c=3,a,b,c>0.Cm:
[TEX]\frac{a}{1+b^2}+\frac{b}{1+c^2}+\frac{c}{1+a^2}\ge \ \frac{3}{2} [/TEX]

Xơi bài dễ trước đã:)))
Ta có [TEX]\frac{a}{1+b^2}=a-\frac{ab^2}{1+b^2}\geq a-\frac{ab^2}{2b}=a-\frac{ab}{2}[/TEX]
CMTT:Ta cũng được: [TEX]\frac{b}{1+c^2}\geq b-\frac{bc}{c};\frac{c}{1+c^2}\geq c-\frac{ca}{2}[/TEX]
[TEX][/TEX]
\Rightarrow [TEX]\frac{a}{1+b^2}+\frac{b}{1+c^2}+\frac{c}{1+a^2}\geq(a+b+c)-\frac{ab+bc+ca}{2}[/TEX]
Mặt khác dễ dàng CM: [TEX](a+b+c)^2\geq 3(ab+bc+ca)\Rightarrow(ab+bc+ca)\leq3[/TEX]
[TEX]\Rightarrow\frac{a}{1+b^2}+\frac{b}{1+c^2}+\frac{c}{1+a^2}\geq\frac{3}{2}[/TEX]

 

[hoa_giot_tuyet]

1.CMR: [tex]\frac{2(x+y+z)}{\sqrt[3]{xyz} } \le \ 1[/tex]
3.x,y,z>0,[TEX]x^2+y^2+z^2=3[/TEX].CM
[tex]\frac{xy}{z}+\frac{zy}{x}+\frac{xz}{y}\ge \ [/tex] 3

Từ bài 4 đến bài 9 đều dùng pp cô-si ngược dấu nếu mà hiểu rõ pp thì mấy bài đó hình như đều giống nhau cả .

Bài 3.
Bình phương đpcm đc [TEX]\frac{x^2y^2}{z^2} + \frac{z^2y^2}{x^2}+\frac{x^2z^2}{y^2} + 2(x^2+y^2+z^2) \geq 9[/TEX]

[TEX]\Leftrightarrow \frac{x^2y^2}{z^2} + \frac{z^2y^2}{x^2}+\frac{x^2z^2}{y^2} \geq 3[/TEX]

Áp dụng [TEX]a^2+b^2+c^2 \geq ab+bc+ca[/TEX] thì đc
[TEX]\frac{x^2y^2}{z^2} + \frac{z^2y^2}{x^2}+\frac{x^2z^2}{y^2} \geq x^2+y^2+z^2 = 3[/TEX]

 

[star_music]

3.x,y,z>0,[TEX]x^2+y^2+z^2=3[/TEX].CM
[tex]\frac{xy}{z}+\frac{zy}{x}+\frac{xz}{y}\ge \ [/tex] 3


-------------------------------------------------


Bài 3: thì có thể làm thế này:

Đặt $ \frac{xy}{z}=a ; \frac{yz}{x}=b;\frac{xy}{y}=c$

Từ giả thiết suy ra:$ab+bc+ca=3$

Ta cần CM:[TEX]a+b+c \geq 3[/TEX]

Áp dụng BĐT:[TEX] (a+b+c)^2 \geq 3(ab+bc+ca)[/TEX]

[TEX]\Leftrightarrow (a+b+c)^2 \geq 9[/TEX]

[TEX]\Leftrightarrow a+b+c \geq 3[/TEX] ĐPCM

Đẳng thức xảy ra [TEX] \Leftrightarrow x=y=z=1[/TEX]

OK Cauchy ngược dấu

6.[TEX]\frac{a^3}{a^2+b^2}+\frac{b^3}{b^2+c^2}+\frac{c^3}{c^2+d^2}+\frac{d^3}{d^2+a^2}\ge \ \frac{a+b+c+d}{2}[/TEX]
7.a,b,c[TEX]\ge \[/TEX],a+b+c=3.CMR:
[TEX]\frac{a^2}{1+2b^2}+\frac{b^2}{1+2c^2}+\frac{c^2}{1+2d^2}+\frac{d^2}{1+2a^2}\ge \ [/TEX] 1
8.a,b,c[TEX]\ge \[/TEX],a+b+c=3.CMR:
[TEX]\frac{a^2}{1+2b^3}+\frac{b^2}{1+2c^3}+\frac{c^2}{1+2d^3}+\frac{d^2}{1+2a^3}\ge \ [/TEX] 1
9.a,b,c,d>0,a+b+c+d=4.CMR:
[TEX]\frac{a+1}{1+b^2}+\frac{b+1}{1+c^2}+\frac{c+1}{1+d^2}+\frac{d+1}{1+a^2}\ge \ [/TEX] 4

---------------------------------------------------------------------------


Bem bài dễ luôn:

6)

Ta có: [TEX]\frac{a^3}{a^2+b^2}=a-\frac{ab^2}{a^2+b^2 }\geq a-\frac{b}{2}[/TEX]

CM tương tự:Cộng vế theo vế suy ra ĐPCM

7)Nếu không thích sử dụng cauchy ngược dấu thì thế nà:
Nhân lần lượt cả tử và mẫu với $a^2,b^2,c^2$

Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz,Ta có:

[TEX] VT \geq \frac{(a^2+b^2+c^2)^2}{a^2+b^2+c^2+2[(ab)^2+(bc)^2+(ca)^2]}[/TEX]

BĐT cần CM trở thành:[TEX]a^4+b^4+c^4 \geq a^2+b^2+c^2[/TEX]

[TEX]a^4+b^4+c^4 \geq \frac{(a^2+b^2+c^2)^2}{3} \geq (a^2+b^2+c^2)[\frac{(a+b+c)^2}{9}] \geq a^2 +b^2+c^2[/TEX]

Từ đó ta có ĐPCM
P/s: bài 9 có thể chia ra thành 2 bài để sử dụng kĩ thuật Cauchy ngược dấu
--------------------------------------------------------
Ô thui chết không biết đề 3 ẩn hay 4 ẩn

 

[thienvamai]

Tớ cho thêm bài nha ^^!
Câu này tớ bí...nghĩ mãi >"<

Cho a + b = 4ab

CMR: $\frac{a}{4b^2+1}+\frac{b}{4a^2+1} \ge \frac{1}{2}$

Làm mãi...nó cứ ra lớn hơn hoặc = 0
haiz !!!

a=b=0 thì 1 VT = 0 còn j` nữa