Một số bài toán Min Max

[hakimanh1]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

bài 1: Cho $a,b,c > 0$ thoả mãn $3{a^2} + 4{b^2} \le 7{c^2}$
Chứng minh rằng: $\dfrac{3}{a} + \dfrac{4}{b} \ge \dfrac{7}{c}$
Bài 2: Cho 3 số $a,b,c$ thoả mãn $0 \le a \le b \le c \le 1$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: \[B = \left( {a + b + c + 3} \right)\left( {\dfrac{1}{{a + 1}} + \dfrac{1}{{b + 1}} + \dfrac{1}{{c + 1}}} \right)\]
Bài 3: Cho $a,b \ge 3$. Chứng minh $21\left( {a + \dfrac{1}{b}} \right) + 3\left( {b + \dfrac{1}{a}} \right) \ge 80$
Bài 4: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: $B = \dfrac{x}{{1 - x}} + \dfrac{5}{x}$. với $0 < x < 1$
Bài 5: Chứng minh rằng $\dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{{3\sqrt 2 }} + \dfrac{1}{{4\sqrt 3 }} + ... + \dfrac{1}{{\left( {n + 1} \right)\sqrt n }} < 2$. Với $n \in {N^*}$
Bài 6: Cho $a,b > 1$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $M = \dfrac{{{a^2}}}{{b - 1}} + \dfrac{{{b^2}}}{{a - 1}}$
Bài 7: Cho $x,y > 0$ thoả mãn $1 + x + y = \sqrt x + \sqrt {xy} + \sqrt y $. Chứng minh rằng: ${x^2} + {y^2} = {x^{2012}} + {y^{2012}}$
Bài 8: Cho a và b là các số dương. Tìm giá trị nhỏi nhất của biểu thức:
\[K = \dfrac{{{a^2} + 3ab + {b^2}}}{{\sqrt {ab} \left( {a + b} \right)}}\]
Bài 9: Giải phương trình: ${\left( {x - \dfrac{9}{2}} \right)^2} + {\left( {x - \dfrac{{11}}{2}} \right)^2} = 1$
Bài 10: Giải phương trình $2\sqrt {{x^2} - 7x + 10} = x + \sqrt {{x^2} - 12x + 20}$

 

[lp_qt]

Bài 6: Cho $a > 1, b>1$. Tìm giá trị nhỏ nhất của $M = \dfrac{a^2}{b-1} + \dfrac{b^2}{a-1}$.

$M = \dfrac{a^2}{b-1} + \dfrac{b^2}{a-1} \ge \dfrac{(a+b)^2}{a+b-2}$

dấu = xảy ra $\Longleftrightarrow a=b$

Xét:

$\dfrac{t^2}{t-2}=\dfrac{(t-2)^2+4(t-2)+4}{t-2} =(t-2)+\dfrac{4}{t-2}+4 \ge 2.\sqrt{(t-2).\dfrac{4}{t-2}}+4=...$

với $t=a+b > 2$

Bài 7: Cho $x,y > 0$ thoả mãn $1 + x + y = \sqrt x + \sqrt {xy} + \sqrt y $. Chứng minh rằng: ${x^2} + {y^2} = {x^{2012}} + {y^{2012}}$

$x+y \ge 2\sqrt{xy}$

$x+1 \ge 2\sqrt{x}$

$y+1 \ge 2\sqrt{y}$

$\rightarrow 2(x+y+1) \ge 2(\sqrt{xy}+\sqrt{x}+\sqrt{y})$

dấu bằng xảy ra khi $x=y=1$

\Rightarrow đpcm.