Một số bài toán khó

[nhocdangyeu789]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Bài 1:Với a, b, c>0. CMR:
[TEX]\frac{a^5}{b^2}+\frac{b^5}{c^2}+\frac{c^5}{a^2}[/TEX] lớn hơn hoặc bằng [TEX]a^2b+b^2c+c^2a[/TEX]
Bài 2: Với a, b, c>0.CMR:
[TEX]\frac{1}{\sqrt[]{a}}+\frac{1}{\sqrt[]{b}}+\frac{2\sqrt[]{2}}{\sqrt[]{c}}\geq\frac{8}{\sqrt[]{a+b+c}}[/TEX]
Bài 3:Với ...:
[TEX]\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{8}{c^2}\geq\frac{64}{(a+b+c)^2}[/TEX]
Bài 4: Cho [TEX]x^2+y^2=2[/TEX]. Tìm GTLN của [TEX]\sqrt[]{x}+\sqrt[]{2y}[/TEX]
Bài 5: Với...:
[TEX](\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+2a}+\frac{c}{a+3b})(1/3+\frac{ac+2ab+3bc}{(a+b+c)^2})\geq1[/TEX]
Bài 6:Cho 2ab+5bc+2([TEX]a+b+c)^2[/TEX]+ac. CMR:
[TEX]\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+2a}+\frac{c}{a+3b}\geq1[/TEX]
Bài 7: Giải pt:
[TEX]\frac{2x}{3x^2-5x+2}+\frac{13x}{3x^2+x+2}=6[/TEX]

 

[truongduong9083]

Câu 1
Ta có
$$\frac{a^5}{b^2}+ \frac{a^5}{b^2}+\frac{a^5}{b^2}+b^3+b^3 \geq 5a^3 $$
$$\frac{b^5}{c^2}+ \frac{b^5}{c^2}+\frac{b^5}{c^2}+c^3+c^3 \geq 5b^3 $$
$$\frac{c^5}{a^2}+ \frac{c^5}{a^2}+\frac{c^5}{a^2}+a^3+a^3 \geq 5a^3 $$
Cộng ba bất đẳng thức lại ta được
$$VT \geq a^3+b^3+c^3 (1)$$
Ta lại có
$$a^3+a^3+b^3 \geq 3a^2b$$
$$b^3+b^3+c^3 \geq 3b^2c$$
$$c^3+c^3+a^3 \geq 3c^2a$$
Cộng ba bất đẳng thức lại ta được
$$a^3+b^3+c^3 \geq VP (2)$$
Từ (1) và (2) suy ra điều phải chứng minh. Dấu bằng xảy ra khi a = b= c =1

Ta sử dụng bổ đề
$\frac{1}{a}+\frac{1}{b} \geq \frac{4}{a+b}$
Dấu ''= '' xảy ra khi $a =b; a, b \geq 0$
Ta có
$\frac{1}{\sqrt{a}}+\frac{1}{\sqrt{b}}\geq \frac{4}{\sqrt{a}+\sqrt{b}} (1)$
$\frac{4}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}+ \frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{c}} =\frac{4}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}+ \frac{4}{\sqrt{2c}}\geq \frac{16}{\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{2c}} \geq \frac{16}{\sqrt{(1+1+2)(a+b+c)}}$
$\Rightarrow \frac{4}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}+ \frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{c}} \geq \frac{8}{\sqrt{a+b+c}} (2)$
Từ (1) và (2) suy ra điều phải chứng minh
Dấu ''='' xảy ra khi a = b = 2c

Bài 3
Dự đoán dấu bằng xảy ra khi c = 2a = 2b
Ta có
$\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{8}{c^2} =\frac{1}{a^2}+\frac{4}{c^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{4}{c^2} \geq \frac{4}{ac}+\frac{4}{bc} \geq \frac{16}{c(a+b)}(1)$
mà
$ \frac{16}{c(a+b)} \geq \frac{16}{\frac{(a+b+c)^2}{4}}$
$\Rightarrow \frac{16}{c(a+b)} \geq \frac{64}{(a+b+c)^2}(2)$
Từ (1) và (2) suy ra điều phải chứng minh

 

[nguyenbahiep1]

Bài 7: Giải pt:

TXĐ : x # 1, X # 2/3 ,
đặt [TEX] u = 3.x^2 +2 , u >= 2[/TEX]
2x/ ( u - 5x ) + 13x ( u +x) = 6

[TEX]33x^2 -39u.x +6u^2 = 0[/TEX]

vì u # o nên chia cả 2 vế cho [TEX]u^2[/TEX]
vậy x/u = 1
x/u = 2/11
với x = u thì [TEX]3x^2 +2 = x[/TEX] phương trình này deta < o nên vô nghiệm
với x= 2/11u thì [TEX] 6.x^2 +4 = 11x, x = 4/3, x = 1/2[/TEX]

 

[try_mybest]

câu 7
xét x=0 không là nghiệm của pt da cho nen chia ca tu va mau cua VT cho x
sau đo dat an phu o mau la trung binh cong cua 2 mau
quy dong roi giai binh thuong nha

thử làm xem nào:
câu7 dk x# 1,x#2/3
(1)<=> 2/ (3x-5 + 2/x) + 13/(3x +1+2/x) =6

đặt 3x -2 +2/x =t

(1) trở thành 2/ (t-3) + 13/(t+3) =6

<=>6t2 -15t -21 =0 <=> t=7/2 hoặc t=-1

+t=7/2 => 3x -2 + 2/x = 7/2 <=> 6x2 -11x +4 =0 <=> x=1/2(tm) ; x=4/3(tm)

+t=-1 =>3x2 -x +2 =0(pt này vô nghiệm)
KL