Một số bài toán cực trị nâng cao

[annaanny]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

1)Cho 2x + 2y + z = 4 (x, y, z là số thực).Tìm GTLN của A = 2xy + yz + zx
2)Cho x + y + z = 6 (x, y, z là số thực). Tìm GTLN của A = xy + 2yz + 3zx
3)Cho $x^2$ + 2xy + 7(x + y) + 2$y^2$ + 10 = 0 (x, y là số thực). Tìm GTLN và GTNN của S = x + y + 3
4)Cho 2$a^2$ + $b^2$/4 + 1/$a^2$ = 4 (a, b là số thực khác 0). Tìm GTLN và GTNN của S = ab + 2009

Các bạn trình bày đầy đủ giúp mình nha ! Cảm ơn các bạn rất nhiều !

 

[transformers123]

bài 2:
ta có:
$A = xy + 2yz + 3zx$
$\Longleftrightarrow A=x(y+z)+2z(y+x)$
áp dụng bđt phu: $\dfrac{(a+b)^2}{4} \ge ab$, ta có:
$x(y+z) \le \dfrac{(x+y+z)^2}{4}$ ; $2z(y+x) \le \dfrac{2(x+y+z)^2}{4}$
cộng lại, ta có:
$$A \le \dfrac{3(x+y+z)^2}{4}=27$$
vậy $\mathfrak{GTLN}$ của $A$ là $27$ khi $x=z=3$ và $y=0$

 

[huynhbachkhoa23]

Đầu tiên thì xin nhận xét thế này:
1. Tiêu đề anh thêm chữ [Toán 10] vào trước để đúng với nội quy.
2. Sử dụng quá 5 smiley rồi.

Mấy bài kia không đủ trình để chém =))

Bài 3:

$(x+y)^2+7(x+y)+10=-y^2 \le 0$

$\leftrightarrow -5 \le xy \le 2$

Dấu bằng thì thế ngược lại.

Hai bài đầu hình như dùng điểm rơi giả đinh nhưng chưa thành thạo lắm

 

[huynhbachkhoa23]

Bài 1:

Điểm rơi tại $x=y=a; z=b$

$2xy \le \dfrac{(x+y)^2}{2}=\dfrac{(4-z)^2}{8}$

$z(x+y) =\dfrac{z(4-z)}{2}$

$A \le \dfrac{8}{3}$

Đẳng thức xảy ra khi $z=\dfrac{4}{3}; x=y=\dfrac{2}{3}$

 

[vipboycodon]

Bài 4: (dc ý tìm min , ko bít đúng ko)
$2a^2+\dfrac{b^2}{4}+\dfrac{1}{a^2} = 4$
<=> $a^2+\dfrac{1}{a^2}-2+a^2+\dfrac{b^2}{4}+ab-2 = ab$
<=> $(a-\dfrac{1}{a})^2+(a+\dfrac{b}{2})^2-2 = ab$
=> $ab \ge -2$ => $S = ab+2009 \ge 2007$