Một số bài toán của các đề học sinh giỏi

[thanhnamgl1609]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

1/ Giải phương trình:
[TEX]\sqrt{3x^2-7x+9} - \sqrt{x^2-2} = \sqrt{3x^2-5x-1} - \sqrt{x^2-3x+13}[/TEX]
2/ Giả sử x,y là các số thực dương thỏa mãn [TEX]x + y = \sqrt{10}[/TEX]. Tìm giá trị của x và y để biểu thức P=(x^4+1)(y^4+1) đạt giá trị nhỏ nhất
3/ Cho ba số thực dương x,y,z thỏa mãn điều kiện x+y+z=2008
Chứng minh rằng [TEX]\frac{x^4+y^4}{x^3+y^3} + \frac{y^4+z^4}{y^3+z^3} + \frac{x^4+z^4}{x^3+z^3} \geq 2008[/TEX]

 

[vipboycodon]

P = $(x^4+1)(y^4+1)$
= $x^4y^4+x^4+y^4+1$
= $x^4+2x^2y^2+y^4-2x^2y^2+x^4y^4+1$
= $(x^2+y^2)^2+x^4y^4-2x^2y^2+1$
= $[(x+y)^2-2xy]^2+x^4y^4-2x^2y^2+1$
= $(10-2xy)^2+x^4y^4-2x^2y^2+1$
= $100-40xy+4x^2y^2+x^4y^4-2x^2y^2+1$
= $x^4y^4+2x^2y^2-40xy+100$
= $(x^2y^2-4)^2+10(xy-2)^2+45 \ge 45$
Vậy min P = 45 khi $\begin{cases} xy = 2 \\ x+y = \sqrt{10} \end{cases}$

 

[nguyenbahiep1]

1/ Giải phương trình:

[laTEX]\sqrt{3x^2-7x+9} - \sqrt{x^2-2} = \sqrt{3x^2-5x-1} - \sqrt{x^2-3x+13} \\ \\ \sqrt{3x^2-7x+9} - \sqrt{3x^2-5x-1} = \sqrt{x^2-2} - \sqrt{x^2-3x+13} \\ \\ \frac{2(5-x)}{\sqrt{3x^2-7x+9} + \sqrt{3x^2-5x-1}} = \frac{3(x-5)}{ \sqrt{x^2-2} + \sqrt{x^2-3x+13}} \\ \\ \Leftrightarrow x = 5 [/laTEX]

 

[braga]

[TEX]\red \fbox{3}. \ \ \ \ \ \text{Note:} \ \frac{x^4+y^4}{x^3+y^3}\ge \frac{x+y}{2}[/TEX]