Một số bài tập về Bất đằng thức

[myrainbow210]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

1) Cho x, y, z là các số dương và [TEX]\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=1[/TEX]
chứng minh rằng:
[TEX]\frac{1}{sqrt{x^2-xy+y^2}}+\frac{1}{sqrt{y^2-yz+z^2}}+\frac{1}{sqrt{z^2-zx+x^2}}\leq1[/TEX]
2) Cho ba số dương x, y, z thỏa x+y+z\leq1
tìm GTNN của [TEX]M=x+y+z+4(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z})[/TEX]
(Đs:37)
3)Tìm GTNN của
[TEX]y=x+\frac{11}{2x}+2sqrt{1+\frac{7}{x^2}}[/TEX]
với x là số dương
(Đs: [TEX]\frac{15}{2} khi x=3[/TEX])
4) Cho x, y, z là các số dương.CMR:
[TEX]xy^3+yz^3+zx^3\geq xyz(x+y+z)[/TEX]
5)Tìm GTNN của [TEX]P=\frac{4}{x}+\frac{1}{4y}[/TEX]
biết rằng x, y là 2 số dương thỏa x+y=5/4
6) Tìm GTLN và NN của hàm số [TEX]y=2x-1+sqrt{2-x^2}[/TEX]
7)Cho x,y là 2 số thực thỏa [TEX]xy+1=2(x^2+y^2)[/TEX]
tìm GTLN và GTNN của
[TEX]A=\frac{x^4+y^4}{1+2xy}[/TEX]
8) cho x,y là 2 số dương và x+y=1. CMR: [TEX](x+\frac{1}{x})^2+(y+\frac{1}{y})^2 \geq\frac{25}{2}[/TEX]

 

[bboy114crew]

1)Áp dụng BĐT [TEX]a^2-ab+b^2 \geq \frac{1}{4}(a+b)^2[/TEX](Cái này bạn tự chứng minh nhé)
Ta được:
[TEX]\sum \frac{1}{x^2-xy+y^2} \leq \sum \frac{2}{x+y} \leq \sum \frac{1}{2}(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}) = 1[/TEX]
2)
Ta có:
[TEX]M= x+y+z+4(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z})[/TEX]
[TEX] = \sum(x+ \frac{1}{9x}) + \frac{35}{9}(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z})[/TEX]
[TEX] \geq \sum 2\sqrt{x.\frac{1}{9x}} +\frac{35}{9}.\frac{9}{x+y+z} [/TEX]
[TEX] \geq 2+35=37[/TEX]
4)Ta có:
[TEX]xy^3+yz^3+zx^3 \geq xyz(x+y+z)[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow \sum \frac{y^2}{z} \geq x+y+z[/TEX]
Theo Cauchy- Schwarz ta có:
[TEX]\sum \frac{y^2}{z} \geq \frac{(x+y+z)^2}{x+y+z}=x+y+z[/TEX]
5)Ta có:
[TEX]P= \frac{1}{x}+\frac{1}{x}+\frac{1}{x}+\frac{1}{x}+\frac{1}{4y}[/TEX]
[TEX] \geq \frac{25}{4x+4y}=5[/TEX]
8)
Ta có:
[TEX](x+\frac{1}{x})^2+(y+\frac{1}{y})^2[/TEX]
[TEX]= x^2+y^2+4+\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}[/TEX]
[TEX]\geq \frac{(x+y)^2}{4}+4+ \frac{(\frac{1}{x}+\frac{1}{y})^2}{4}[/TEX]
[TEX]\geq \frac{1}{4}+4+\frac{(\frac{4}{x+y})^2}{4}[/TEX]

 

[vy000]

6,\Leftrightarrow [TEX]y-2x+1=\sqrt[]{2-x^2} (x^2\leq2)[/TEX]
\Leftrightarrow [TEX](y-2x+1)^2=2-x^2[/TEX]
viết pt theo ẩn x rồi sử dụng điều kiện delta\geq0
[TEX]5,P=\frac{4}{x}+\frac{\frac{1}{4}}{y}\geq\frac{(2+1/2)^2}{x+y}=\frac{\frac{25}{4}}{\frac{5}{4}}=5[/TEX]