Một số bài tập trong đề thi HSG

[happytomorrowww]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Bài 1: Tìm nghiệm nguyên của phương trình:
[TEX]x(x^2+x+1)=4y(y+1)[/TEX]

Bài 2: Cho a,b,c,d là các số dương thỏa mãn: [TEX]\frac{1}{a^2+1}+\frac{1}{b^2+1}+[/TEX][TEX]\frac{1}{c^2+1}+\frac{1}{d^2+1}=1[/TEX]. Tìm GTNN của tích [TEX]abcd[/TEX].

Bài 3: Giải hệ phương trình:
[TEX]\frac{1}{xy}+\frac{1}{yz}+\frac{1}{z}=2[/TEX] và [TEX]\frac{2}{xy^2z}-\frac{1}{z^2}=4[/TEX]

 

[minhtuyb]

Bài 2:

Cho a,b,c,d là các số dương thỏa mãn: [TEX]\frac{1}{a^2+1}+\frac{1}{b^2+1}+[/TEX][TEX]\frac{1}{c^2+1}+\frac{1}{d^2+1}=1[/TEX]. Tìm GTNN của tích [TEX]abcd[/TEX].

Đặt [TEX]x=\frac{1}{a^2+1};y=\frac{1}{b^2+1};z=\frac{1}{c^2+1};t=\frac{1}{d^2+1}\Rightarrow \left\{\begin{matrix}x,y,z,t\in (0;1]\\a=\sqrt{\frac{1-x}{x}};b=\sqrt{\frac{1-y}{y}};z=\sqrt{\frac{1-c}{c}};t=\sqrt{\frac{1-d}{d}}\\x+y+z+t=1\end{matrix}\right.[/TEX]
Lúc này:
[TEX]abcd=\sqrt{\frac{(1-x)(1-y)(1-z)(1-t)}{xyzt}}[/TEX]
Mà [TEX]x+y+z+t=1\Rightarrow 1-x=y+z+t[/TEX]. Biến đổi tương tự, ta có:
[TEX]abcd=\sqrt{\frac{(y+z+t)(x+z+t)(x+y+t)(x+y+z)}{xyzt}}\geq ^{AM-GM}\sqrt{\frac{3\sqrt[3]{yzt}.3\sqrt[3]{xzt}.3\sqrt[3]{xyt}.3\sqrt[3]{xyz}}{xyzt}}=9[/TEX]
Dấu bằng xảy ra khi [TEX]a=b=c=d=\sqrt{3}[/TEX]
Vậy [TEX]min(abcd)=9[/TEX] khi [TEX]a=b=c=d=\sqrt{3}[/TEX]

Bài 3 là đề HSG Nghệ An năm kia thì phải ="='

 

[l0vely_heart]

Bài 1: Tìm nghiệm nguyên của phương trình:
[TEX]x(x^2+x+1)=4y(y+1)[/TEX]

[TEX]\Leftrightarrow x^3 + x^2 + x = 4y^2 + 4y[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow x^3 + x^2 + x + 1 = 4y^2 + y + 1[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow (x^2+1)(x+1) = (2y+1)^2[/TEX]
Vì [TEX](2y + 1)[/TEX] với [TEX]y \in Z[/TEX] là số lẻ nên [TEX](2y + 1)^2 [/TEX] cũng là số lẻ
\Rightarrow [TEX]x^2 + 1 , x+1 [/TEX]đều là số lẻ
Giả sử [TEX](x^2+1,x+1) = d[/TEX] ( d là số lẻ )

.....\Rightarrow d = 1
Vì [TEX](2y + 1)^2[/TEX] là số CP và [TEX](x^2+1,x+1) = 1[/TEX]


\Rightarrow x = 0

 

[minhtuyb]

Bài 3 tương tự cái này :

[TEX](1)\Leftrightarrow (\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z})^2 = 4[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow \frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}+\frac{1}{z^2}+\frac{2}{xy}+\frac{2}{yz}+\frac{2}{zx}=4(1')[/TEX]
-Lấy [TEX](1')-(2):[/TEX]
[TEX]\Rightarrow \frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}+\frac{2}{z^2}+\frac{2}{yz}+\frac{2}{zx}=0[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow (\frac{1}{x^2}+\frac{2}{zx}+\frac{1}{z^2})+(\frac{1}{y^2}+\frac{2}{yz}+\frac{1}{z^2})=0[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow (\frac{1}{x}+\frac{1}{z})^2+(\frac{1}{y}+\frac{1}{z})^2=0[/TEX]
Bạn tự túc tiếp được nhỉ

Thay [tex]x=xy;y=yz[/tex] là giống hệt hệ trên

 

[happytomorrowww]

Bài 3 tương tự cái này :

Thay [tex]x=xy;y=yz[/tex] là giống hệt hệ trên

Ừm. Hình như là vậy bạn à với cả đổi biến đi làm cho gọn