Một số bài tập tích phân

[clover141]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

[TEX]1> Cho I_n = \int_{0}^{1}x^n \sqrt[2]{1-x} dx[/TEX]
chứng minh [TEX]I_(n+1)=\frac{2n+2}{2n+5}I_n[/TEX]

 

[jet_nguyen]

Đặt $\left\{ \begin{array}{1} u = x^n \\ dv = \sqrt {1 - x} dx
\end{array} \right. \Longrightarrow \left\{ \begin{array}{1}
du = n{x^{n - 1}}\\ v = - \dfrac{2}{3}\sqrt {{{\left( {1 - x} \right)}^3}}
\end{array} \right.$
Vậy:
$${I_n} = \left. { - \dfrac{2}{3}{x^n}\sqrt {{{\left( {1 - x} \right)}^3}} } \right|_0^1 + \frac{{2n}}{3}\int\limits_0^1 {{x^{n - 1}}\sqrt {{{\left( {1 - x} \right)}^3}} } dx$$$$= \dfrac{{2n}}{3}\left[ {\int\limits_0^1 {{x^{n - 1}}\sqrt {1 - x} } dx - \int\limits_0^1 {{x^n}\sqrt {1 - x} } dx} \right] $$$$= \frac{{2n}}{3}\left( {{I_{n - 1}} - {I_n}} \right)$$ Quy nạp lên thì ta được:
$$ {I_{n + 1}} = \frac{{2n}}{{2n + 3}}{I_{n }}$$

P/s: Không biết đề sai hay mình nhầm ở đâu nhỉ?

 

[vivietnam]

quy nạp sai
mối quan hệ giữa n với n-1 và n và n+1
thay n bởi n+1 là được thôi