Một số bài tập bất đẳng thức

[levietdung12352]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

1.[tex]a^{4}+b^{4}+c^{4}\geqslant a^{2}b^{2}+b^{2}c^{2}+c^{2}a^{2}[/tex]
2.[tex]a^{4}+b^{4}+c^{4}\geqslant \frac{(a^{2}+b^{2}+c^{2})^{2}}{3}[/tex]
3.[tex](1+a)^{2}(1+b^{2})\geqslant (1+ab^{2})[/tex]
4.[tex]2a^{2}+b^{2}+1\geqslant 2a(1-b)[/tex]
5.[tex]\frac{a^{2}}{4}+b^{2}+c^{2}\geqslant ab-ac+2bc[/tex]
6.[tex](a+b+c)^{2}\leqslant 3(a^{2}+b^{2}+c^{2})[/tex]

 

[Bonechimte]

1.[tex]a^{4}+b^{4}+c^{4}\geqslant a^{2}b^{2}+b^{2}c^{2}+c^{2}a^{2}[/tex]
2.[tex]a^{4}+b^{4}+c^{4}\geqslant \frac{(a^{2}+b^{2}+c^{2})^{2}}{3}[/tex]
3.[tex](1+a)^{2}(1+b^{2})\geqslant (1+ab^{2})[/tex]
4.[tex]2a^{2}+b^{2}+1\geqslant 2a(1-b)[/tex]
5.[tex]\frac{a^{2}}{4}+b^{2}+c^{2}\geqslant ab-ac+2bc[/tex]
6.[tex](a+b+c)^{2}\leqslant 3(a^{2}+b^{2}+c^{2})[/tex]

1, Nhân 2 vào 2 vế rồi biến đổi tương đương

 

[Trần Võ Khôi Nguyên]

1. [tex]a^{4}+b^{4}+c^{4}\geq a^{2}b^{2}+b^{2}c^{2}+c^{2}a^{2}[/tex]
[tex]\Rightarrow 2(a^{4}+b^{4}+c^{4})\geq 2(a^{2}b^{2}+b^{2}c^{2}+c^{2}a^{2})[/tex]
[tex]\Leftrightarrow 2(a^{4}+b^{4}+c^{4})-2(a^{2}b^{2}+b^{2}c^{2}+c^{2}a^{2})\geq 0[/tex]
[tex]\Leftrightarrow (a^{4}-2a^{2}b^{2}+b^{4})+(b^{4}-2b^{2}c^{2}+c^{4})+(c^{4}-2c^{2}a^{2}+a^{4})\geq 0[/tex]
[tex]\Leftrightarrow (a^{2}-b^{2})^{2}+(b^{2}-c^{2})^{2}+(c^{2}-a^{2})^{2}\geq 0[/tex] (đúng)
[tex]\Rightarrow a^{4}+b^{4}+c^{4}\geq a^{2}b^{2}+b^{2}c^{2}+c^{2}a^{2}[/tex]
2. Biến đổi tương đương (chuyển vế) rồi sử dụng bài 1.
3. Đề phải là [tex](1+a^{2})(1+b^{2})\geq (1+ab)^{2}[/tex] .
Khai triển rồi chuyển vế là được!
4. Chuyến vế
5. [tex]\frac{a^{2}}{4}+b^{2}+c^{2}\geq ab-ac+2bc\Leftrightarrow (b-c)^{2}-a(b-c)+\frac{a^{2}}{4}\geq 0\Leftrightarrow (b-c-\frac{a}{2})^{2}\geq 0[/tex] (đúng)
6. Chuyển vế và làm giống bài 1

 

[levietdung12352]

1. [tex]a^{4}+b^{4}+c^{4}\geq a^{2}b^{2}+b^{2}c^{2}+c^{2}a^{2}[/tex]
[tex]\Rightarrow 2(a^{4}+b^{4}+c^{4})\geq 2(a^{2}b^{2}+b^{2}c^{2}+c^{2}a^{2})[/tex]
[tex]\Leftrightarrow 2(a^{4}+b^{4}+c^{4})-2(a^{2}b^{2}+b^{2}c^{2}+c^{2}a^{2})\geq 0[/tex]
[tex]\Leftrightarrow (a^{4}-2a^{2}b^{2}+b^{4})+(b^{4}-2b^{2}c^{2}+c^{4})+(c^{4}-2c^{2}a^{2}+a^{4})\geq 0[/tex]
[tex]\Leftrightarrow (a^{2}-b^{2})^{2}+(b^{2}-c^{2})^{2}+(c^{2}-a^{2})^{2}\geq 0[/tex] (đúng)
[tex]\Rightarrow a^{4}+b^{4}+c^{4}\geq a^{2}b^{2}+b^{2}c^{2}+c^{2}a^{2}[/tex]
2. Biến đổi tương đương (chuyển vế) rồi sử dụng bài 1.
3. Đề phải là [tex](1+a^{2})(1+b^{2})\geq (1+ab)^{2}[/tex] .
Khai triển rồi chuyển vế là được!
4. Chuyến vế
5. [tex]\frac{a^{2}}{4}+b^{2}+c^{2}\geq ab-ac+2bc\Leftrightarrow (b-c)^{2}-a(b-c)+\frac{a^{2}}{4}\geq 0\Leftrightarrow (b-c-\frac{a}{2})^{2}\geq 0[/tex] (đúng)
6. Chuyển vế và làm giống bài 1

sao cau 5 ra [tex](b-c-\frac{a}{2})^{2}\geqslant 0[/tex]

 

[Trần Võ Khôi Nguyên]

[tex](b-c)^{2}-a(b-c)+\frac{a^{2}}{4}=(b-c)^{2}-2.(b-c).\frac{a}{2}+(\frac{a}{2})^{2}=\left [ (b-c)-\frac{a}{2} \right ]^{2}=(b-c-\frac{a}{2})^{2}[/tex]
Bạn dụng hằng đẳng thức quen rồi sẽ nhìn dễ thôi!