[tex]\begin{array}{l} \mathtt{Bài\ 1\ :Tìm\ tất\ cả\ bộ\ ba\ số\ ( x,y,p) \ với\ x,y\ là\ số\ nguyên\ dương\ và\ p\ là\ số\ nguyên\ tố\ thỏa\ mãn\ }\\ \mathtt{phương\ trình\ x^{5} +x^{4} +1=p^{y}}\\ \mathtt{Bài\ 2\ :\ Tìm\ các\ nghiệm\ nguyên\ ( x,y) \ của\ phương\ trình\ :\ xy+\frac{x^{3} +y^{3}}{3} =2007} \end{array}[/tex]
Một lời giải do thầy mình gợi ý làm nhưng mình chưa hiểu lắm?Không biết mọi người còn cách nào khác không
[tex]\begin{array}{l} \mathtt{Bài\ 1\ :}\\ \mathtt{Rõ\ ràng\ ( x,y,p) =( 1,1,7) \ và\ ( x,y,p) =( 2,2,7) \ là\ một\ nghiệm\ của\ phương\ trình}\\ \mathtt{Ta\ có}\\ \mathtt{x^{5} +x^{4} +1=x^{5} +x^{4} +x^{3} -\left( x^{3} -1\right) =x^{3}\left( x^{2} +x+1\right) -( x-1)\left( x^{2} +x+1\right)}\\ \mathtt{=\left( x^{3} -x+1\right)\left( x^{2} +x+1\right)}\\ \mathtt{Do\ đó\ \left( x^{3} -x+1\right)\left( x^{2} +x+1\right) =p^{y}}\\ \mathtt{Gọi\ d=gcd\left( x^{3} -x+1\right)\left( x^{2} +x+1\right)}\\ \mathtt{Khi\ đó\ d\ cũng\ đồng\ thời\ là\ ước\ của\ ( x-1)\left( x^{2} +x+1\right) -x^{3} +x-1=x-2}\\ \mathtt{Vì\ d\ cũng\ là\ ước\ của\ x^{2} +x+1-( x-2)( x+3) =7.Do\ đó\ d=7\ và\ x >1,vì\ vậy\ p=7.Ta\ suy\ ra\ với}\\ \mathtt{x >2,x^{2} +x+1=7^{a} \ và\ x^{3} -x+1=7^{b} \ với\ a\geqslant 2\ và\ b\geqslant 2.Điều\ này\ có\ nghĩa\ có\ 49\ ước\ của\ x^{2} +x+1\ }\\ \mathtt{và\ x^{3} -x+1,mâu\ thuẫn\ với\ d=7.Vậy\ ( 1,1,7) \ và\ ( 2,2,7) \ là\ nghiệm\ của\ phương\ trình} \end{array}[/tex]
[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
