Toán 10 Một đa giác H gồm 20 đỉnh có các cạnh và đường chéo

[Trần Đăng Quang]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Một đa giác H gồm 20 đỉnh có các cạnh và đường chéo được tô bởi một trong hai màu xanh hoặc đỏ. Tam giác được tạo thành từ 3 trong 20 đỉnh của đa giác H gọi là tam giác đơn sắc nếu các cạnh của nó chỉ được tô bởi đúng một màu. Gọi n là số tam giác đơn sắc có trong đa giác. Tìm giá trị nhỏ nhất của n


Em đang gặp vướng mắc bài này, mong các Anh/Chị xem qua, hỗ trợ dùm em với ạ! Em cảm ơn nhiều ạ!!

 

[Alice_www]

Một đa giác H gồm 20 đỉnh có các cạnh và đường chéo được tô bởi một trong hai màu xanh hoặc đỏ. Tam giác được tạo thành từ 3 trong 20 đỉnh của đa giác H gọi là tam giác đơn sắc nếu các cạnh của nó chỉ được tô bởi đúng một màu. Gọi n là số tam giác đơn sắc có trong đa giác. Tìm giá trị nhỏ nhất của n


Em đang gặp vướng mắc bài này, mong các Anh/Chị xem qua, hỗ trợ dùm em với ạ! Em cảm ơn nhiều ạ!!

Ta có thể đưa bài toán về là các đỉnh của H tô thành các màu trắng hoặc đen, khi đó khi nối các đỉnh cùng màu sẽ tạo ra cạnh màu xanh, khác màu sẽ tạo ra cạnh màu đỏ.
Rõ ràng phải chọn 3 đỉnh cùng màu mới có thể tạo ra tam giác đơn sắc.
Gọi số đỉnh tô màu trắng, đen lần lượt là $a,b\: (a+b=20)$
Khi đó số cách chọn là $C_a^3+C_b^3=\dfrac16[a(a-1)(a-2)+b(b-1)(b-2)]$
$=\dfrac16 [(20-b)(19-b)(18-b)+b(b-1)(b-2)]$
$=\dfrac16 (54b^2-1080+5400+1440)=\dfrac16[54(b-10)^2+1440]\ge 240$
Dâu "=" xảy ra khi và chỉ khi $a=b=10$ và số tam giác đơn sắc là 240
Có gì khúc mắc em hỏi lại nhé