Một câu trong đề Quốc gia 2002

[keh_hikari_f@yahoo.com.vn]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Đề học sinh giỏi Quốc gia năm 2002 có một câu thế này:
"Trong một truyện khoa học viễn tưởng của R.A.Heinlein có mô phỏng một cây cột đứng, đồng nhất, tiết diện đều, nằm lơ lửng trong không trung theo phương thẳng đứng, chân cột gần sát mặt đất, ngay trên một điểm trên xích đạo. Hỏi nếu tồn tại cây cột đó thì nó phải cao bao nhiêu?"


Mình đã thử giải và khi xem đáp án thì mình làm một đằng, nó giải một nẻo (
Giờ post đề lên để tham khảo ý tưởng của mọi người xem có ai giống mình không (

 

[congratulation11]

Nếu hình dung thì nó sẽ như hình trên!

Theo tớ nghĩ khi nó lơ lửng như vậy giống như kiểu 1 vật lơ lửng trong nước ấy nhỉ!

Như thế: $F_a=P \ \ (1)$

Mà: $F_a=g_1.D_o.S.h \ \ (2)$

Và: $P=g_2.(S.h.D) \ \ (3)$

Trong đó: $g_1=\dfrac{GM}{R^2}; \ \ g_2=\dfrac{G.M}{(R+0,5h)^2} \ \ (4)$

<Với $G=6,67.10^{-11}, \ \ M$ là khối lượng Trái đất, $R$ là bán kính Trái đất.>

Từ $(1),(2), (3)$, ta có: $g_1D_o=g_2D \ \ (5)$

Từ $(4),$ và $(5)$, ta có: $0,25h^2.D_o+RhD_o+R^2(D_o-D)=0$

$h$ là nghiệm của PT trên!

 

[saodo_3]

Không phải đâu, ở đây người ta muốn nói tới cân bằng của lực hấp dẫn với lực quán tính li tâm đấy.

Trình thì chắc là không đủ, nhưng thôi kệ, cứ giải cho nó có không khí, có phong trào nhỉ ).

- Tính lực hấp dẫn.

[TEX]F = G.\frac{M.m}{R^2}[/TEX]

Xét 1 phần tử trên cột có chiều dày [TEX]dx[/TEX] và cách tâm Trái đất một đoạn [TEX][TEX]x[/TEX][/TEX].

Khối lượng phần tử này là: [TEX]dm = dx.\rho.S[/TEX]

[TEX]dF = G.\frac{M.dm}{x^2}[/TEX]

Lực hấp dẫn tác dụng lên cột: [TEX]F = G.M\rho.S\int_{6400}^{6400+h}\frac{dx}{x^2}[/TEX]

[TEX]F = G.M\rho.S(\frac{1}{6400} - \frac{1}{6400+h}) [/TEX]

- Tính lực li tâm.

Xét phần tử dày[TEX]dy[/TEX] cách tâm Trái Đất đoạn y.

Khối lượng phần tử: [TEX]dm = dy.S.\rho[/TEX]

[TEX]dF = dm.\omega^2.y = \omega^2.S\rho.ydy[/TEX]

[TEX]F = \omega^2.S\rho\int_{6400}^{6400+h}ydy = \omega^2S\rho[(6400+h)^2-6400^2][/TEX]

Cho hai giá trị này bằng nhau để tìm h.

 

[keh_hikari_f@yahoo.com.vn]

Nếu hình dung thì nó sẽ như hình trên!

Theo tớ nghĩ khi nó lơ lửng như vậy giống như kiểu 1 vật lơ lửng trong nước ấy nhỉ!

Như thế: $F_a=P \ \ (1)$

Mà: $F_a=g_1.D_o.S.h \ \ (2)$

Và: $P=g_2.(S.h.D) \ \ (3)$

Trong đó: $g_1=\dfrac{GM}{R^2}; \ \ g_2=\dfrac{G.M}{(R+0,5h)^2} \ \ (4)$

<Với $G=6,67.10^{-11}, \ \ M$ là khối lượng Trái đất, $R$ là bán kính Trái đất.>

Từ $(1),(2), (3)$, ta có: $g_1D_o=g_2D \ \ (5)$

Từ $(4),$ và $(5)$, ta có: $0,25h^2.D_o+RhD_o+R^2(D_o-D)=0$

$h$ là nghiệm của PT trên!

Hehe! Suy nghĩ của bạn y hệt của mình luôn =]] Nhưng cuối cùng thì đáp án nó giải theo hướng của saodo_3 (

Tuy nhiên bài giải của bạn có vấn đề, vì áp suất khí quyển thay đổi theo độ cao nên không thể dùng công thức của lực đẩy Acsimet được, mà phải quay về cách tính lực cơ bản, đó là lực bằng sự chênh lệch áp suất nhân với tiết diện. Tức: gọi p là áp suất khí quyển tại mặt đất, p' là áp suất khí quyển tại vị trí đỉnh cột thì lực sẽ là (p-p')S ...

Nhưng thế này thì mình cũng chưa hài lòng vì không biết trước cột cao bao nhiêu làm sao biết áp suất tại đó, cho nên đòi hỏi phải có một hàm tính áp suất theo độ cao h. Hàm này thì người ta phải cho mình mới được. Đồng thời mình chưa biết trước tiết diện của cột là bao nhiêu, nếu tiết diện này quá nhỏ thì lực đẩy Acsimet không còn đáng kể nữa ...

Không phải đâu, ở đây người ta muốn nói tới cân bằng của lực hấp dẫn với lực quán tính li tâm đấy.

Trình thì chắc là không đủ, nhưng thôi kệ, cứ giải cho nó có không khí, có phong trào nhỉ ).

- Tính lực hấp dẫn.

[TEX]F = G.\frac{M.m}{R^2}[/TEX]

Xét 1 phần tử trên cột có chiều dày [TEX]dx[/TEX] và cách tâm Trái đất một đoạn [TEX][TEX]x[/TEX][/TEX].

Khối lượng phần tử này là: [TEX]dm = dx.\rho.S[/TEX]

[TEX]dF = G.\frac{M.dm}{x^2}[/TEX]

Lực hấp dẫn tác dụng lên cột: [TEX]F = G.M\rho.S\int_{6400}^{6400+h}\frac{dx}{x^2}[/TEX]

[TEX]F = G.M\rho.S(\frac{1}{6400} - \frac{1}{6400+h}) [/TEX]

- Tính lực li tâm.

Xét phần tử dày[TEX]dy[/TEX] cách tâm Trái Đất đoạn y.

Khối lượng phần tử: [TEX]dm = dy.S.\rho[/TEX]

[TEX]dF = dm.\omega^2.y = \omega^2.S\rho.ydy[/TEX]

[TEX]F = \omega^2.S\rho\int_{6400}^{6400+h}ydy = \omega^2S\rho[(6400+h)^2-6400^2][/TEX]

Cho hai giá trị này bằng nhau để tìm h.

Bạn có ý tưởng khá giống đáp án Nhưng góp ý là không nên thay thẳng R=6400, mình nghĩ để luôn R thì sẽ tổng quát hơn ... Và hình như chỗ tích phân cuối cùng có vấn đề, nguyên hàm y.dy của bạn thiếu 1/2 =.=''



Tóm lại là bài này mình nghĩ cách nào cũng ổn cả, nhưng có lẽ gộp cả hai thì sẽ tổng quát hơn vì lực li tâm không thể bỏ qua, và nếu cột có tiết diện lớn thì sự chênh lệch áp suất sẽ trở nên có nghĩa.

Đáp án trong sách của mình ghi là h=1,5 . 10^8 m =.='' Coi như lọt ra khỏi khí quyển rồi, áp suất tại đỉnh nó coi như rất nhỏ luôn ...

Bài này khá là ảo nhưng hay ... Đề nó nói lúc làm học sinh phải tự suy ra những hằng số cần thiết ... Và cô mình nói nếu làm theo kiểu tính luôn cả lực đẩy Acsimet thì cũng không sai, có thể người ta vẫn sẽ chấp nhận cách đó nếu giải thích hợp lý.