T
taolmdoi
[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!
ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.
Cho các số thực $x, \,y, \,z \in [3; \,5]$ và thỏa mãn điều kiện $x+y+z \le 11.$ Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức $$P=x^3+y^3+z^3.$$
Dễ thấy để biểu thức đạt giá trị lớn nhất thì $$x+y+z=11$$
Bài toán trở thành bài toán đi tìm GTLN với đk $x+y+z=11$
Ta có $$z=11-x-y$$
$$P=x^3+y^3+z^3=(x+y+z)^3-3(x+y)(y+z)(z+x)$$
$$=11^3-3(x+y)(11-x)(11-y)=f(y)$$
Ta có
$$f'(y)=(11-x)(6y+3x-33)$$
$$f'(y)=0 \Leftrightarrow y=\frac{11-x}{2}$$
Chú ý $3\le x ,y,z\le 5$ nên $ 3\le y \le 8 -x \le 5 $
Ta có $$f(3)=f(8- x)=11^3+24(x^2-8x-33)$$
Từ bảng biến thiên ta suy ra
$$f(y) \le 11^3+24(x^2-8x-33) $$
Mặt khác $$11^3+24(x^2-8x-33) \le 11^3-24.48$$
Kết luận $$P \le 11^3-24.48$$
Đẳng thức xảy ra khi $y=z=3; x=5$ hoặc các hoán vị !
Dễ thấy để biểu thức đạt giá trị lớn nhất thì $$x+y+z=11$$
Bài toán trở thành bài toán đi tìm GTLN với đk $x+y+z=11$
Ta có $$z=11-x-y$$
$$P=x^3+y^3+z^3=(x+y+z)^3-3(x+y)(y+z)(z+x)$$
$$=11^3-3(x+y)(11-x)(11-y)=f(y)$$
Ta có
$$f'(y)=(11-x)(6y+3x-33)$$
$$f'(y)=0 \Leftrightarrow y=\frac{11-x}{2}$$
Chú ý $3\le x ,y,z\le 5$ nên $ 3\le y \le 8 -x \le 5 $
Ta có $$f(3)=f(8- x)=11^3+24(x^2-8x-33)$$
Từ bảng biến thiên ta suy ra
$$f(y) \le 11^3+24(x^2-8x-33) $$
Mặt khác $$11^3+24(x^2-8x-33) \le 11^3-24.48$$
Kết luận $$P \le 11^3-24.48$$
Đẳng thức xảy ra khi $y=z=3; x=5$ hoặc các hoán vị !