Một bài toán về tam giác

[nam156]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Cho tam giác ABC nhọn. Tìm giá trị nhỏ nhất của tổng :
T = 2.(SinA + sinB + sinC) + tanA + tanB+ tanC

Đây là 1 bài trong đề thi thử vào đại học của Khối PT chuyên Lí - ĐHKHTN, khó quá , bạn nào giải được thì post lời giải giúp mình.
Thank các bạn rất nhiều !

 

[ivory]

Cho tam giác ABC nhọn. Tìm giá trị nhỏ nhất của tổng :
T = 2.(SinA + sinB + sinC) + tanA + tanB+ tanC

Đây là 1 bài trong đề thi thử vào đại học của Khối PT chuyên Lí - ĐHKHTN, khó quá , bạn nào giải được thì post lời giải giúp mình.
Thank các bạn rất nhiều !

xét [TEX]q(t)=2sint+tant, t\in (0;\frac{\pi}{2})[/TEX]
ta có[TEX]T=q(a)+q(b)+q(c)[/TEX] , tự nhiên mình nghĩ đến hàm số lồi (lõm)
thử chứng minh [TEX]T\ge 3q(\frac{a+b+c}{3})[/TEX]
bạn làm tiếp đi, cố lên !!^*^

 

[nam156]

xét [TEX]q(t)=2sint+tant, t\in (0;\frac{\pi}{2})[/TEX]
ta có[TEX]T=q(a)+q(b)+q(c)[/TEX] , tự nhiên mình nghĩ đến hàm số lồi (lõm)
thử chứng minh [TEX]T\ge 3q(\frac{a+b+c}{3})[/TEX]
bạn làm tiếp đi, cố lên !!^*^

Hình như làm theo hướng này không được, bạn thử nghĩ cách khác đi.

 

[ivory]

Hình như làm theo hướng này không được, bạn thử nghĩ cách khác đi.

[TEX]q'(t)=2cost+1+tan^2t, q"(t)=-2sint +2tant(1+tan^2t)=2sint(\frac{1}{cost}-1)+2tan^3t >0, t\in (0,\frac{\pi}{2}) [/TEX]
suy ra tiếp tuyến của .... nằm dưới ....., dẫn đến
[TEX]2sinA +tanA\ge 5(A-\frac{\pi}{3})+2\sqrt{3}[/TEX]
lamf thêm 2 ..... cộng theo vế là được [TEX]=6\sqrt{3}[/TEX]
nếu làm theo trên kia, có ngay
[TEX]P\ge3[ 2sin(\frac{A+B+C}{3})+tan(\frac{A+B+C}{3})]=6\sqrt{3}[/TEX]
đẳng thức :[TEX]A=B=C= \frac{\pi}{3}[/TEX]

 

[nam156]

Nhưng mà bạn ơi cách này dùng kiến thức ở ngoài SGK rồi, bạn còn cách nào khác không?

 

[ivory]

Nhưng mà bạn ơi cách này dùng kiến thức ở ngoài SGK rồi, bạn còn cách nào khác không?

[TEX]a+b+c=\pi, a\ge b\ge c[/TEX]
[TEX]vt=2sina+tana+2sinb+tanb +2sin(a+b)-tan(a+b)=s(a)[/TEX]
[TEX]s'(a)=.....= 2cosa+tan^2a-(2cosc+tan^2c)\ge 0[/TEX]
[TEX]s(a)\ge s(b)=4sinb+2sin2b+2tanb-tan2b[/TEX]
ban tìm gtnn của [TEX]s(b)[/TEX].

 

[nam156]

Thank bạn mình sẽ suy nghĩ thêm......................................................................................