Một bài toán tiếp tuyến cực khó thách đố ae hocmai.vn

G

guanyu2004

N

nerversaynever

guanyu2004 said:
Chứng minh rằng trên đường thẳng y=7 có 4 điểm sao cho qua điểm đó có thể vẽ được 2 tiếp tuyến đến đồ thị hàm số [TEX]y=\frac{2x^2-x+1}{x-1}[/TEX] và 2 tiếp tuyến này hợp nhau góc 45 độ.

Giúp mình nhé:D
Bấm để xem đầy đủ nội dung ...
[TEX]\begin{array}{l}A\left( {a;7} \right) \\ pt - d:y = k\left( {x - a} \right) + 7 \\ pt - h/d - giao - diem \\ y = k\left( {x - a} \right) + 7 = \frac{{2x^2 - x + 1}}{{x - 1}} \Leftrightarrow \left( {k - 2} \right)x^2 - \left( {ka + k - 8} \right)x + ka - 8 = 0 \\ d - la - tiep - tuyen \Leftrightarrow \left( {ka + k - 8} \right)^2 - 4\left( {k - 2} \right)\left( {ka - 8} \right) = 0,k \ne 2 \\ \Leftrightarrow \left( {a - 1} \right)^2 k^2 + \left( {16 - 8a} \right)k = 0,k \ne 2 \\ qua - A - co - 2 - tt - tao - voi - nhau - goc - 45^0 \\ \Leftrightarrow \frac{{\left| {8a - 16} \right|}}{{\left( {a - 1} \right)^2 }} = 1 \Leftrightarrow a = 5 \pm 2\sqrt 2 ;a = - 3 \pm 2\sqrt 6 \\dpcm \end{array}[/TEX]
 
G

guanyu2004

nerversaynever said:
[TEX]\begin{array}{l}A\left( {a;7} \right) \\ pt - d:y = k\left( {x - a} \right) + 7 \\ pt - h/d - giao - diem \\ y = k\left( {x - a} \right) + 7 = \frac{{2x^2 - x + 1}}{{x - 1}} \Leftrightarrow \left( {k - 2} \right)x^2 - \left( {ka + k - 8} \right)x + ka - 8 = 0 \\ d - la - tiep - tuyen \Leftrightarrow \left( {ka + k - 8} \right)^2 - 4\left( {k - 2} \right)\left( {ka - 8} \right) = 0,k \ne 2 \\ \Leftrightarrow \left( {a - 1} \right)^2 k^2 + \left( {16 - 8a} \right)k = 0,k \ne 2 \\ qua - A - co - 2 - tt - tao - voi - nhau - goc - 45^0 \\ \Leftrightarrow \frac{{\left| {8a - 16} \right|}}{{\left( {a - 1} \right)^2 }} = 1 \Leftrightarrow a = 5 \pm 2\sqrt 2 ;a = - 3 \pm 2\sqrt 6 \\dpcm \end{array}[/TEX]
Bấm để xem đầy đủ nội dung ...

bạn ơi mình không hiểu vài chỗ. Nếu theo cách chứng minh của bạn thì vẫn chưa tìm được đk để điểm A có thể vẽ được 2 tt, vs lại đk pt có nghiệm kép thầy cô ở trường ko cho mình dùng :(:(, còn về pt bậc 2 của bạn thì mình thấy a,b,c chưa phải là hằng số vì có k phụ thuộc vào x , liệu có dùng đc như bạn ko????
Giải thích dùm mình cái :)
 
K

kitty.sweet.love

guanyu2004 said:
Chứng minh rằng trên đường thẳng y=7 có 4 điểm sao cho qua điểm đó có thể vẽ được 2 tiếp tuyến đến đồ thị hàm số [TEX]y=\frac{2x^2-x+1}{x-1}[/TEX] và 2 tiếp tuyến này hợp nhau góc 45 độ.

Giúp mình nhé:D
Bấm để xem đầy đủ nội dung ...

[TEX]y=\frac{2x^2-x+1}{x-1}[/TEX] (C)

M là điểm bất kì trên đt y = 7 => M(a;7)
Đường thẳng đj wa M có pt : y = k(x - a) + 7 (d)

+) (d) là tiếp tuyến của (C)
\Leftrightarrow k(x - a) + 7 = [TEX]y=\frac{2x^2-x+1}{x-1}[/TEX] có nghiệm kép
\Leftrightarrow (k-2)x^2 - [(a + 1)k - 8]x + (ak - 8) = 0 có nghiệm kép
\Leftrightarrow k -2 khác 0; và denta = [(a+1)k - 8]^2 - 4(k-2)(ak-8) = 0
\Leftrightarrow k khác 2; và (a-1)^2.k^2 - 8(a-2)k = 0 (*)


+) Qua M kẻ được 2 tiếp tuyến fân biệt tới (C)
\Leftrightarrow pt (*) có 2 nghiệm fân biệt khác 2
\Leftrightarrow a - 1 khác 0; 4(a-3)^2 khác 0; denta' = 16(a-2)^2 > 0
\Leftrightarrow a khác { 1;2;3}


+) Vs mọi k khác {1,2,3} thì pt (*) \Leftrightarrow k = 0; [TEX]k=\frac{8(a-2)}{(a-1)^2}[/TEX]
2 tiếp tuyến tạo vs nhau góc 45 độ
\Leftrightarrow |(k2 - k1)/(1 + k2.k1)| = tg 45 = 1 \Leftrightarrow |k2| =1
\Leftrightarrow 8(a-2) = (a-1)^2 hoặc 8(a-2) = - (a-1)^2
\Leftrightarrow a = { 5 -2 .căn{2}; 5 + 2 căn{2}; -3 - 2 căn{6}; -3 + 2 căn{6} }

P/s: mình chưa rành việc đánh công thức tóan nên mọi ng thông cảm. Nhớ THanks dùm mình nếu thấy bài viết có ích nhé ^_^
 
Last edited by a moderator:
K

kitty.sweet.love

Còn cách 2 nữa bạn nhé! Cách 2 ngắn hơn nhưng nếu bạn hiểu Cách 1 thì thui ạ
 
You must log in or register to reply here.
Top Bottom