Giải phương trình:
[TEX]5^x+4^x=3^x+2^x+10x^2-6x[/TEX]
bài này mình sử dụng lagrang nhưng bị tắc ở đoạn cuối.ai giai được giúp mình tí
[đã edit]
Bài này dùng Lagrange thì có vẻ hơi to tát
Giải tích cổ điển có một nhóm các định lý về giá trị trung bình (Mean Value Theorems) gồm 3 định lý Rolle, Lagrange, và Cauchy. Định lý Lagrange là một trường hợp đặc biệt (TH con) của Cauchy, và tương tự định lý Rolle là trường hợp con của Lagrange.
Với bài này ta chỉ cần dùng định lý Rolle, chính xác hơn là hệ quả của Rolle. Do Rolle là trường hợp con của Lagrange nên ta dùng Rolle cũng là dùng Lagrange, nhưng ở dạng gọn hơn, và hướng làm không phải là dùng công thức: [TEX]\exists c \in (a; b)[/TEX] sao cho [TEX]f\prime (c) = \frac{f(b)-f(a)}{b-a}[/TEX] như ta vẫn hay nghĩ đến khi nói đến Lagrange
1. Nhắc lại định lý Rolle
Nếu hàm [TEX]f(x)[/TEX] liên tục trên [TEX]\left [a; b \right ][/TEX], khả vi trên [TEX]\left (a; b \right )[/TEX] và [TEX]f(a) = f(b)[/TEX] thì tồn tại [TEX]c \in \lef ( a; b \right )[/TEX] sao cho [TEX]f\prime(c) = 0[/TEX]
2. Hệ quả
Ta có nhận xét, nếu hàm [TEX]f(x)[/TEX] khả vi trên [TEX]\mathbb{R}[/TEX] thì giữa bất kỳ hai nghiệm nào của [TEX]f(x)[/TEX] cũng tồn tại nghiệm của [TEX]f\prime(x)[/TEX]
Điều này dễ dàng suy ra từ định lý Rolle ở trên. Giả sử [TEX]f(x)[/TEX] có [TEX]n[/TEX] nghiệm là [TEX]x_1, x_2, \cdots, x_n[/TEX]. Khi đó theo định lý Rolle thì giữa mỗi khoảng [TEX]\left (x_i; x_{i+1} \right )[/TEX] luôn tồn tại một số [TEX]c_i[/TEX] sao cho [TEX]f\prime (c_i) = 0[/TEX], tức luôn tồn tại nghiệm của [TEX]f\prime (x)[/TEX]. Điều này dẫn đến hệ quả
Nếu hàm [TEX]f(x)[/TEX] liên tục và khả vi trên miền [TEX]D[/TEX] nào đó và [TEX]f\prime(x) = 0[/TEX] có đúng [TEX]k[/TEX] nghiệm thì [TEX]f(x)[/TEX] có không quá [TEX]k+1[/TEX] nghiệm
p/s: mở rộng, hàm [TEX]f(x)[/TEX] liên tục và khả vi đến cấp [TEX]n[/TEX] trên miền [TEX]D[/TEX], nếu đạo hàm cấp [TEX]n[/TEX] có [TEX]k[/TEX] nghiệm thì đạo hàm cấp [TEX]n-1[/TEX] có tối đa [TEX]k+1[/TEX] nghiệm
Áp dụng vào bài toán
Xét với [TEX]x>0[/TEX]
[TEX]5^x+4^x=3^x+2^x+10x^2-6x \Leftrightarrow 5^x+4^x - 3^x-2^x-10x^2+6x =0[/TEX]
Đặt [TEX]f(x) = 5^x+4^x - 3^x-2^x-10x^2+6x[/TEX]
Phương trình trở thành [TEX]f(x) = 0 [/TEX] [TEX](I)[/TEX]
Ta có:
[TEX]f\prime(x) = 5^x \ln 5 + 4^x \ln 4 - 3^x \ln 3 - 2^x \ln 2 - 20x[/TEX]
[TEX]f\prime\prime(x) = 5^x \ln^2 5 + 4^x \ln^2 4 - 3^x \ln^2 3 - 2^x \ln^2 2 - 20[/TEX]
[TEX]f\prime\prime\prime(x) = 5^x \ln^3 5 + 4^x \ln^3 4 - 3^x \ln^3 3 - 2^x \ln^3 2[/TEX]
Hiển nhiên [TEX]5^x \ln^3 5 + 4^x \ln^3 4 - 3^x \ln^3 3 - 2^x \ln^3 2 > 0 \forall x \in \mathbb{R}[/TEX] [TEX]\Rightarrow f\prime\prime\prime(x) > 0 \forall x >0[/TEX]
[TEX]\Rightarrow f\prime\prime\prime(x)[/TEX] vô nghiệm
[TEX]\Rightarrow f\prime\prime(x)[/TEX] có tối đa 1 nghiệm
[TEX]\Rightarrow f\prime(x)[/TEX] có tối đa 2 nghiệm
[TEX]\Rightarrow f(x)[/TEX] có tối đa 3 nghiệm
Với [TEX]x<0[/TEX]
Phương trình [TEX]5^x+4^x - 3^x-2^x-10x^2+6x = 0[/TEX]
[TEX]VT = 5^x+4^x - 3^x-2^x-10x^2+6x = 5^x+4^x - 3^x-2^x-x(10x-6)[/TEX]
Do [TEX]x<0[/TEX] nên [TEX]5^x+6^x < 3^x+2^x \Leftrightarrow 5^x+6^x-3^x-2^x <0[/TEX]
Ta cũng có [TEX]x(10x-6) > 0[/TEX] vì [TEX]x<0[/TEX] và [TEX]10x-6 < 0[/TEX]
Vậy [TEX]VT< 0 \forall x < 0[/TEX]
-> phương trình vô nghiệm với [TEX]x<0[/TEX]
Vậy phương trình có tối đa 3 nghiệm trên [TEX]\mathbb{R}[/TEX]
Mà ta có có [TEX]x = 0; x=1; x=2[/TEX] đều thỏa mãn [TEX](I) : f(x) = 0[/TEX]
Vậy phương trình có đúng 3 nghiệm là : [TEX]x = 0; x=1; x=2[/TEX]
p/s: phương pháp áp dụng các định lý về giá trị trung bình (Rolle, Lagrange, Cauchy) chủ yếu dùng cho các dạng toán giải phương trình, chứng minh tồn tại nghiệm, chứng mình BĐT. Nếu vững kiến thức phần này, em sẽ có trong tay một công cụ rất mạnh, giải được khá nhiều bài củ chuối
nhưng ở phạm vi phổ thông a ko thấy người ta dạy sâu về cái này lắm, tự đào bới vậy
[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn