một bài toán khá hóc búa

[sweetcandy_lovely]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Cho a,b,c,d là các số nguyên dương.Hãy tìm giá trị nhỏ nhất của biếu thức sau:
a/b+c+d + b/c+d+a + c/d+a+b + d/a+b+c + b+c+d/a + c+d+a/b + d+a+b/c + a+b+c/d

 

[nhatkhang334]

Cho a,b,c,d là các số nguyên dương.Hãy tìm giá trị nhỏ nhất của biếu thức sau:
a/b+c+d + b/c+d+a + c/d+a+b + d/a+b+c + b+c+d/a + c+d+a/b + d+a+b/c + a+b+c/d

Sử dụng BĐT Cô-si:
[TEX]\frac{a}{b+c+d}+\frac{b+c+d}{a} \geq 2 [/TEX]
[TEX]\frac{b}{c+d+a}+\frac{c+d+a}{b} \geq 2 [/TEX]
[TEX]\frac{c}{d+a+b}+\frac{d+a+b}{c} \geq 2 [/TEX]
[TEX]\frac{d}{a+b+c}+\frac{a+b+c}{d} \geq 2 [/TEX]
Cộng các vế với nhau ta được:
[TEX] \frac{a}{b+c+d} + \frac{b}{c+d+a} + \frac{c}{d+a+b} + \frac{d}{a+b+c} + \frac{b+c+d}{a} + \frac{c+d+a}{b} + \frac{d+a+b}{c} + \frac{a+b+c}{d} \geq 2+2+2+2 = 8[/TEX]
Vậy giá trị nhỏ nhất là 8

 

[hell_angel_1997]

Sử dụng BĐT Cô-si:
[TEX]\frac{a}{b+c+d}+\frac{b+c+d}{a} \geq 2 [/TEX]
[TEX]\frac{b}{c+d+a}+\frac{c+d+a}{b} \geq 2 [/TEX]
[TEX]\frac{c}{d+a+b}+\frac{d+a+b}{c} \geq 2 [/TEX]
[TEX]\frac{d}{a+b+c}+\frac{a+b+c}{d} \geq 2 [/TEX]
Cộng các vế với nhau ta được:
[TEX] \frac{a}{b+c+d} + \frac{b}{c+d+a} + \frac{c}{d+a+b} + \frac{d}{a+b+c} + \frac{b+c+d}{a} + \frac{c+d+a}{b} + \frac{d+a+b}{c} + \frac{a+b+c}{d} \geq 2+2+2+2 = 8[/TEX]
Vậy giá trị nhỏ nhất là 8

sai rồi:|
làm như thế này thì dấu = xảy ra <=> a=b=c=d=0
bài này áp dụng [TEX](a+b+c+d)(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c} +\frac{1}{d}) \geq16[/TEX]
[TEX]=>\frac{a}{b+c+d}+\frac{b}{c+d+a}+\frac{c}{d+a+b}+\frac{d}{a+b+c}\geq\frac{4}{3}[/TEX]
Dấu = xảy ra <=> a=b=c=d
[TEX]\frac{b+c+d}{a}+\frac{c+d+a}{b}+\frac{d+a+b}{c}+\frac{a+b+c}{d}\geq12[/TEX]
Dấu = xảy ra <=> a=b=c=d