Một bài toán hay và khó về bất đẳng thức

[minhphuc1995]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Cho (a_1; a_2; ...; a_n) là n số thực dương thoả mãn a_1.a_2...a_n\geq m (m bất kì)và một số b nào đó. Khẳng định sau đúng hay sai, và vì sao??
(a_1+b).(a_2+b)...(a_n+b)\geq \frac{n^n.m^(n-1).b}{(n-1)^(n-1)}

 

[brandnewworld]

Cho (a_1; a_2; ...; a_n) là n số thực dương thoả mãn a_1.a_2...a_n\geq m (m bất kì)và một số b nào đó. Khẳng định sau đúng hay sai, và vì sao??
(a_1+b).(a_2+b)...(a_n+b)\geq \frac{n^n.m^(n-1).b}{(n-1)^(n-1)}

Có phải đề là như vậy không:
Cho [TEX](a_1; a_2; ...; a_n)[/TEX] là n số thực dương thoả mãn [TEX]a_1.a_2...a_n\geq m[/TEX] (m bất kì)và một số b nào đó. Khẳng định sau đúng hay sai, và vì sao??
[TEX](a_1+b).(a_2+b)...(a_n+b)\geq \frac{n^n.m^(n-1).b}{(n-1)^(n-1)} [/TEX]

Khó hiểu quá, thôi thì bạn tập đánh công thức Toán học lại nhé. Mình sẽ vào làm sao khi cậu post lại đề!

 

[chungtinh_4311]

chả hiểu cái gì đánh lại đi nhé

 

[minhphuc1995]

Phải là m m^ (n-1) và (n-1)^(n-1). Các bạn hiểu giúp.

 

[linh954]

Bạn vào đây mà học gõ công thức Toán nè
http://diendan.hocmai.vn/showthread.php?t=4917

 

[minhphuc1995]

[TEX](a_1+b)(a_2+b)...(a_n+b)\geq\frac{n^n.m^(n-1).b}{(n-1)^(n-1)}[/TEX]

 

[minhphuc1995]

Các bạn ơi!! Đừng để một bài bất đẳng thức hay như thế này rơi vào quên lãng chứ!!!Đã có bạn nào tìm ra lời giải chưa??

 

[brandnewworld]

Chắc tuần sau mình mới giải được, đúng là bài này hay lắm, mình sẽ cố giải!

 

[nienhenrichaben]

Bài này nếu muốn giải được phải có định nghĩa về căn bậc n của một số thực. Đã bạn nào trên forum biết về cái này chưa???

 

[nienhenrichaben]

Lời giải của bài bất đẳng thức đó đây:
Ta có:
[TEX] a_1 + b = \frac{a_1}{n-1} + \frac{a_1}{n-1} + ... + \frac{a_1}{n-1} + b \geq n.\sqrt[n]{\frac{(a_1)^(n-1).b}{(n-1)^(n-1)}}[/TEX] ( theo bất đẳng thức AM-GM)
Tương tự , ta có:
[TEX] a_2 + b = \frac{a_2}{n-1} + \frac{a_2}{n-1} + ... + \frac{a_2}{n-1} + b \geq n.\sqrt[n]{\frac{(a_2)^(n-1).b}{(n-1)^(n-1)}}[/TEX]
[TEX] a_3 + b = \frac{a_3}{n-1} + \frac{a_3}{n-1} + ... + \frac{a_3}{n-1} + b \geq n.\sqrt[n]{\frac{(a_3)^(n-1).b}{(n-1)^(n-1)}}[/TEX]
................
[TEX] a_n + b = \frac{a_n}{n-1} + \frac{a_n}{n-1} + ... + \frac{a_n}{n-1} + b \geq n.\sqrt[n]{\frac{(a_n)^(n-1).b}{(n-1)^(n-1)}}[/TEX]
Nhân tất cả các bất đẳng thức trên lại với nhau thì ta được :
[TEX] (a_1+b)(a_2+b)...(a_n+b) \geq n^n.\sqrt[n]{\frac{(a_1a_2...a_n)^(n-1).b^n}{[(n-1)^(n-1)}]^n} = \frac{n^n.b}{(n-1)^(n-1)}.\sqrt[n]{(a_1a_2...a_n)^(n-1)} \geq \frac{n^n.m^(n-1).b}{(n-1)^(n-1)}[/TEX] ( vì [TEX] a_1a_2...a_n \geq m^n[/TEX] ( sorry vì đánh thiếu đề bài nha, vì mình chính là minhphuc1995 đây)) (đpcm)
@-)@-)@-)