Một bài chứng minh khá khó!

N

neotrix

D

duynhan1

neotrix said:
Cho dãy Fibonaxi:
[TEX]\left{U_1=U_2=1\\U_n=U_{n-1}+U_{n-2}[/TEX] với n>=3, n thuộc N
CMR
[TEX]U_n=\frac{1}{\sqrt{5}}*[(\frac{1+\sqrt{5}}{2})^{n} - (\frac{1-\sqrt{5}}{2})^{n}][/TEX]

(Nếu đề có gì sai thì các bạn nói để mình chỉnh sửa nha!)
Bấm để xem đầy đủ nội dung ...
Làm bằng quy nạp thì khá dễ :D
(Thay n=1,2 thì nó đúng.
Giả sử đúng với n=k-1 và k, ta sẽ chứng minh đúng với n=k+1...)

Nếu người ta không cho [TEX]u_n[/TEX] trước có thể làm như sau :

[TEX]U_n=U_{n-1}+U_{n-2} \Leftrightarrow U_n-U_{n-1}-U_{n-2} = 0[/TEX]

Phương trình đặc trưng :

[TEX]X^2-X-1 = 0 \Leftrightarrow X = \frac{1 \pm \sqrt{5}}{2}[/TEX]

[TEX]\Rightarrow U_n = A . (\frac{1+\sqrt{5}}{2})^n + B . (\frac{1-\sqrt{5}}{2})^n[/TEX]

Thay [TEX]U_1[/TEX] và [TEX]U_2[/TEX] ứng với n=1, 2 ta tìm được A và B
 
Last edited by a moderator:
N

neotrix

Bạn có thể giải thích kĩ hơn được không! Có một số cái như : [TEX]\rightarrow U_n =A.(\frac{1+sqrt{5}}{2})^n +B.(\frac{1-sqrt{5}}{2})^n[/TEX] . Mình không hiểu. Cái đó được suy ra như thế nào. Mong bạn chỉ giúp mình!
 
Last edited by a moderator:
L

longlxag123

neotrix said:
Bạn có thể giải thích kĩ hơn được không! Có một số cái như : [TEX]\rightarrow U_n =A.(\frac{1+sqrt{5}}{2})^n +B.(\frac{1-sqrt{5}}{2})^n[/TEX] . Mình không hiểu. Cái đó được suy ra như thế nào. Mong bạn chỉ giúp mình!
Bấm để xem đầy đủ nội dung ...
Nếu ko hiểu cách đó thì anh làm bằng quy nạp(với n>=2) cho dễ:D
 
L

langtuhoangminhtri

bài này chính là pt sai phân tuyến tính cấp 2:
pp giải nhu sau:
pt sai phân tuyến tính cấp 2 có dạng:
[TEX]u_1=\alpha [/TEX]
[TEX]u_2=\beta [/TEX]
[TEX]au_{n+1}+bu_n+cu_{n-1}=0[/TEX]
giải pt đặc trưng:[TEX]a\lambda ^2+b\lambda +c=0[/TEX] để tìm [TEX]\lambda [/TEX]
i/[TEX]\lambda_1;\lambda _2[/TEX] là hai nghiệm thực khác nhau thì [TEX]u_n=p\lambda _1^n+q\lambda _2^n[/TEX] tìm [TEX]u_n[/TEX] bằng [TEX]u_1; u_2 [/TEX]
ii/[TEX]\lambda_1;\lambda _2[/TEX] là nghiệm kép thì [TEX]u_n=(p+pn)\lambda ^n[/TEX] tìm [TEX]u_n[/TEX] bằng [TEX]u_1; u_2 [/TEX]
iii/ nếu[TEX]\lambda [/TEX] là nghiệm phức([TEX]\lambda =x+iy[/TEX]) thì ta đặt r =[TEX]\left|\lambda \right|=sqrt{x^2+y^2}[/TEX]
khi đó [TEX]\lambda =r(cos\varphi +isin\varphi )[/TEX]; [TEX]u_n=r^n(Acosn\varphi +bsinn\varphi )[/TEX] tìm [TEX]u_n[/TEX] bằng [TEX]u_1; u_2 [/TEX]
---------xong------------
có ji` ko hiểu thì pm lại :p:):D:eek::)>-
 
L

longlxag123

langtuhoangminhtri said:
bài này chính là pt sai phân tuyến tính cấp 2:
pp giải nhu sau:
pt sai phân tuyến tính cấp 2 có dạng:
[TEX]u_1=\alpha [/TEX]
[TEX]u_2=\beta [/TEX]
[TEX]au_{n+1}+bu_n+cu_{n-1}=0[/TEX]
giải pt đặc trưng:[TEX]a\lambda ^2+b\lambda +c=0[/TEX] để tìm [TEX]\lambda [/TEX]
i/[TEX]\lambda_1;\lambda _2[/TEX] là hai nghiệm thực khác nhau thì [TEX]u_n=p\lambda _1^n+q\lambda _2^n[/TEX] tìm [TEX]u_n[/TEX] bằng [TEX]u_1; u_2 [/TEX]
ii/[TEX]\lambda_1;\lambda _2[/TEX] là nghiệm kép thì [TEX]u_n=(p+pn)\lambda ^n[/TEX] tìm [TEX]u_n[/TEX] bằng [TEX]u_1; u_2 [/TEX]
iii/ nếu[TEX]\lambda [/TEX] là nghiệm phức([TEX]\lambda =x+iy[/TEX]) thì ta đặt r =[TEX]\left|\lambda \right|=sqrt{x^2+y^2}[/TEX]
khi đó [TEX]\lambda =r(cos\varphi +isin\varphi )[/TEX]; [TEX]u_n=r^n(Acosn\varphi +bsinn\varphi )[/TEX] tìm [TEX]u_n[/TEX] bằng [TEX]u_1; u_2 [/TEX]
---------xong------------
có ji` ko hiểu thì pm lại :p:):D:eek::)>-
Bấm để xem đầy đủ nội dung ...
Trời!, đem cả pt vi phân ra giải ak/:). Cái này hình như trong toán cao cấp mà, phải ko?:D
 
You must log in or register to reply here.
Top Bottom