Một bài BĐT khó cần giúp đỡ.

[nguyenthitramy93]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

cho a, b,c>0, [TEX] a^2+ b^2+ c^2=3[/TEX] Chứng minh:
[TEX]{\frac{1}{a+b}}+\frac{1}{b+c}+ \frac{1}{c+a}\geq\frac{4}{a^2+7}+\frac{4}{b^2+7} +\frac{4}{c^2+7}[/TEX]

 

[duynhan1]

cho a, b,c>0, [TEX] a^2+ b^2+ c^2=3[/TEX] Chứng minh:
[TEX]\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+ \frac{1}{c+a} \geq \frac{4}{a^2+7}+\frac{4}{b^2+7} +\frac{4}{c^2+7} (1)[/TEX]

[TEX]gt \Rightarrow a+b+c \leq 3[/TEX]

[TEX]\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+ \frac{1}{c+a}\geq \frac{2}{2a+b+c}+\frac{2}{a+2b+c} +\frac{2}{a+b+2c} \geq \sum \frac{2}{3+a}[/TEX]

[TEX](1) \Leftrightarrow \sum \frac{1}{3+a} \geq \sum \frac{2}{a^2+7}(2)[/TEX]

Lại có: [TEX]\frac{1}{3+x} \geq \frac{2}{x^2 + 7} [/TEX]

[TEX]\Leftrightarrow (x-1)^2 \geq 0[/TEX]

[TEX]\Rightarrow (2) [/TEX] đúng [TEX]\Rightarrow (1)[/TEX] đúng

 

[vodichhocmai]

cho a, b,c>0, [TEX] a^2+ b^2+ c^2=3[/TEX] Chứng minh:
[TEX]{\frac{1}{a+b}}+\frac{1}{b+c}+ \frac{1}{c+a}\geq\frac{4}{a^2+7}+\frac{4}{b^2+7} +\frac{4}{c^2+7}[/TEX]

Chúng ta luôn có theo [TEX]AM-GM[/TEX] thì

[TEX] \frac{4}{a^2+4+3}= \frac{4}{2\(a^2+1\)+\(b^2+1\)+ \(c^2+1\) }\le \frac{2}{2a+b+c}\le \frac{1}{2}\(\frac{1}{a+b}+\frac{1}{a+c}\)[/TEX]

Làm tương tự ta được điều phải chứng minh

 

[nguyenthitramy93]

[TEX]\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+ \frac{1}{c+a}\geq \frac{2}{2a+b+c}+\frac{2}{a+2b+c} +\frac{2}{a+b+2c} \geq \sum \frac{2}{3+a}[/TEX]

Bạn có thể giải thích cụ thể cho mình chỗ này không?

 

[duynhan1]

Áp dụng BDT : [TEX]\frac{1}{x} + \frac{1}{y} \geq \frac{4}{x+y} [/TEX] cho từng cặp

[TEX] \frac{1}{a+b} ; \frac{1}{a+c}[/TEX]

[TEX] \frac{1}{b+c} ; \frac{1}{a+b}[/TEX]


[TEX] \frac{1}{b+c} ; \frac{1}{a+c}[/TEX]

Cộng vế theo vế ta được điều phải chứng minh