Một bài bất đẳng thức hay nữa

[xnzt99]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Cho a,b,c>0 thỏa a^2+b^2+c^2=3. Chứng minh $\frac{1}{a+b}$ + $\frac{1}{c+b}$ + $\frac{1}{a+c}$ >= $\frac{4}{a^2+7}$ + $\frac{4}{b^2+7}$ + $\frac{4}{c^2+7}$ .

 

[huynhbachkhoa23]

Ta có: $(a+b+c)^2$\leq$3(a^2+b^2+c^2)=9$\Rightarrow$a+b+c$\leq$3$
$ab+bc+ca$\leq$a^2+b^2+c^2=3$
$\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a}$
$=\frac{3}{3(a+b)}+\frac{3}{3(b+c)}+\frac{3}{3(c+a)}$
\geq$\frac{3}{(a+b+c)(a+b)}+\frac{3}{(a+b+c)(b+c)}+\frac{3}{(a+b+c)(c+a)}$
$=\frac{3}{a^2+b^2+ab+(ab+bc+ca)}+\frac{3}{b^2+c^2+bc+(ab+bc+ca)}+\frac{3}{c^2+a^2+ca+(ab+bc+ca)}$
\geq$\frac{6}{3(a^2+b^2)+6}+\frac{6}{3(b^2+c^2)+6}+\frac{6}{3(c^2+a^2)+6}$
$=\frac{2}{a^2+b^2+2}+\frac{2}{b^2+c^2+2}+\frac{2}{c^2+a^2+2}$
=$[\frac{1}{a^2+b^2+2}+\frac{1}{b^2+c^2+2}]+[\frac{1}{b^2+c^2+2}+\frac{1}{c^2+a^2+2}]+[\frac{1}{c^2+a^2+2}+\frac{1}{a^2+b^2+2}]$
\geq$\frac{4}{(a^2+b^2+2)+(b^2+c^2+2)}+\frac{4}{(b^2+c^2+2)+(c^2+a^2+2)}+\frac{4}{(c^2+a^2+2)+(a^2+b^2+2)}$
$=\frac{4}{a^2+7}+\frac{4}{b^2+7}+\frac{4}{c^2+7}$
Dáu bằng xảy ra khi $a=b=c=1$

Sai rồi kìa bạn, ngay chỗ dòng 4 bị ngược dấu.

Áp dụng BDT Cauchy: $a^2+1 \ge 2a$

Tương tự với $b,c$ rồi cộng lại ta được $3 \ge a+b+c$

Áp dụng BDT Cauchy-Schwarz: $2VT \ge \sum \dfrac{4}{(a+b+c)+a} \ge \sum \dfrac{4}{3+a}$

Ta cần chứng minh: $\sum (\dfrac{1}{3+a}-\dfrac{2}{a^2+7}) \ge 0$

Điều này luôn đúng vì BDT trên tương đương với $\sum \dfrac{(a-1)^2}{(3+a)(a^2+7)} \ge 0$