- 24 Tháng mười 2018
- 1,616
- 1,346
- 216
- 24
- TP Hồ Chí Minh
- Đại học Sư phạm Kỹ thuật TP Hồ Chí Minh
[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!
ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.
1. Phương pháp:
xét đa thức [tex]f(x)=a_0+a_1x+a_2x^2+...+a_k.x^k+...+a_nx^n[/tex]
[tex]a_k[/tex] là hệ số của [tex]x^k[/tex] trong khai triển f(x).
- [tex](x^n)^{(n)}=n![/tex]
- đạo hàm 2 vế của f(x) đến cấp k, và đặt lượng chứa x là x.g(x), ta có: [tex]f^{(k)}(x)=0+k!.a_k+x.g(x)[/tex]
- thay x=0 vào, ta được: [tex]f^{(k)}(0)=k!.a_k[/tex]
2. ví dụ:
ví dụ 1: tính [tex]f^{(5)}(0)[/tex] của hàm số [tex]f(x)=(1+x+x^2+x^3)^{10}[/tex].
bài toán này, nếu không dùng mẹo như trên thì sẽ rất vất vả khi đạo hàm , dễ dẫn tới tính toán sai.
ta giải theo cách như sau:
theo trên, ta có:
[tex]f^{(5)}(0)=5!.a_5[/tex]
nghĩa là ta phải đi tìm số hạng chứa [tex]x^5[/tex]
ta có: [tex]f(x)=(1+x+x^2(1+x))^{10}=((x+1)(x^2+1))^{10}=\underset{k=0}{\overset{10}{\sum}}C_{10}^k.x^k.\underset{m=0}{\overset{10}{\sum}}C_{10}^mx^{2m}[/tex]
số hang chứa [tex]x^5[/tex]
[tex]\left\{\begin{matrix} k+2m=5\\ 0\leq m\leq 10\\ 0\leq k\leq 10 \end{matrix}\right.=>(k,m)=(1,2),(3,1),(5,0)[/tex]
nên số hạng chứa [tex]x^5[/tex]
là: [tex]a_5=C_{10}^1.C_{10}^2+C_{10}^3.C_{10}^1+C_{10}^5.C_{10}^0=1902[/tex]
do đó: [tex]f^{(5)}(0)=5!.a_5=5!.1902=228240[/tex]
ví dụ 2:
tính [tex]f^{(6)}(0)[/tex], với [tex]f(x)=(3x-1)^9.(x+1)^{10}[/tex]
ta có: [tex]f^{(6)}(0)=6!.a_6[/tex], với [tex]a_6[/tex] là số hạng chứa [tex]x^6[/tex]
khai triển [tex]f(x)=\underset{k=0}{\overset{9}{\sum}}C^k_9.(3x)^k.(-1)^{9-k}.\underset{m=0}{\overset{10}{\sum}}.C^m_{10}.x^m=\underset{k=0}{\overset{9}{\sum}}.\underset{m=0}{\overset{10}{\sum}}.C^k_9.C^m_{10}.3^k.(-1)^{9-k}.x^{k+m}[/tex]
hệ số của [tex]x^6[/tex] nên ta có:
[tex]\left\{\begin{matrix} k+m=6\\ 0\leq k\leq 9\\ 0\leq m\leq 10 \end{matrix}\right.=>(k,m)=(0,6),(1,5),...,(6,0)[/tex]
hệ số của [tex]x^6[/tex]: [tex]a_6=\underset{k=0}{\overset{6}{\sum}}.C^k_9.C^{6-k}_{10}.3^k.(-1)^{9-k}=-3612[/tex]
vậy, [tex]f^{(6)}(0)=6!.a_6=6!.(-3612)=-2600640[/tex]
xét đa thức [tex]f(x)=a_0+a_1x+a_2x^2+...+a_k.x^k+...+a_nx^n[/tex]
[tex]a_k[/tex] là hệ số của [tex]x^k[/tex] trong khai triển f(x).
- [tex](x^n)^{(n)}=n![/tex]
- đạo hàm 2 vế của f(x) đến cấp k, và đặt lượng chứa x là x.g(x), ta có: [tex]f^{(k)}(x)=0+k!.a_k+x.g(x)[/tex]
- thay x=0 vào, ta được: [tex]f^{(k)}(0)=k!.a_k[/tex]
2. ví dụ:
ví dụ 1: tính [tex]f^{(5)}(0)[/tex] của hàm số [tex]f(x)=(1+x+x^2+x^3)^{10}[/tex].
bài toán này, nếu không dùng mẹo như trên thì sẽ rất vất vả khi đạo hàm , dễ dẫn tới tính toán sai.
ta giải theo cách như sau:
theo trên, ta có:
[tex]f^{(5)}(0)=5!.a_5[/tex]
nghĩa là ta phải đi tìm số hạng chứa [tex]x^5[/tex]
ta có: [tex]f(x)=(1+x+x^2(1+x))^{10}=((x+1)(x^2+1))^{10}=\underset{k=0}{\overset{10}{\sum}}C_{10}^k.x^k.\underset{m=0}{\overset{10}{\sum}}C_{10}^mx^{2m}[/tex]
số hang chứa [tex]x^5[/tex]
[tex]\left\{\begin{matrix} k+2m=5\\ 0\leq m\leq 10\\ 0\leq k\leq 10 \end{matrix}\right.=>(k,m)=(1,2),(3,1),(5,0)[/tex]
nên số hạng chứa [tex]x^5[/tex]
là: [tex]a_5=C_{10}^1.C_{10}^2+C_{10}^3.C_{10}^1+C_{10}^5.C_{10}^0=1902[/tex]
do đó: [tex]f^{(5)}(0)=5!.a_5=5!.1902=228240[/tex]
ví dụ 2:
tính [tex]f^{(6)}(0)[/tex], với [tex]f(x)=(3x-1)^9.(x+1)^{10}[/tex]
ta có: [tex]f^{(6)}(0)=6!.a_6[/tex], với [tex]a_6[/tex] là số hạng chứa [tex]x^6[/tex]
khai triển [tex]f(x)=\underset{k=0}{\overset{9}{\sum}}C^k_9.(3x)^k.(-1)^{9-k}.\underset{m=0}{\overset{10}{\sum}}.C^m_{10}.x^m=\underset{k=0}{\overset{9}{\sum}}.\underset{m=0}{\overset{10}{\sum}}.C^k_9.C^m_{10}.3^k.(-1)^{9-k}.x^{k+m}[/tex]
hệ số của [tex]x^6[/tex] nên ta có:
[tex]\left\{\begin{matrix} k+m=6\\ 0\leq k\leq 9\\ 0\leq m\leq 10 \end{matrix}\right.=>(k,m)=(0,6),(1,5),...,(6,0)[/tex]
hệ số của [tex]x^6[/tex]: [tex]a_6=\underset{k=0}{\overset{6}{\sum}}.C^k_9.C^{6-k}_{10}.3^k.(-1)^{9-k}=-3612[/tex]
vậy, [tex]f^{(6)}(0)=6!.a_6=6!.(-3612)=-2600640[/tex]