mọi người làm thử hộ nha!!

[ae97]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Với mỗi số nguyên dương n , đặt [tex] P_n[/tex]=1.2.3....n /(tích các sô tự nhiên liên tiếp tư 1 đến n)
Chứng minh:
a) 1+1.[tex]P_1[/tex] +2.[tex]P_3[/tex]+....+n.[tex]P_n[/tex]=[tex]P_(n+1)[/tex]
b)[tex]\frac{1}{P_2}[/tex]+[tex]\frac{2}{P_3}[/tex]+...+[tex]\frac{n-1}{P_n}[/tex]<1

 

[hoa_giot_tuyet]

Với mỗi số nguyên dương n , đặt [tex] P_n[/tex]=1.2.3....n /(tích các sô tự nhiên liên tiếp tư 1 đến n)
Chứng minh:
a) 1+1.[tex]P_1[/tex] +2.[tex]P_3[/tex]+....+n.[tex]P_n[/tex]=[tex]P_(n+1)[/tex]
b)[tex]\frac{1}{P_2}[/tex]+[tex]\frac{2}{P_3}[/tex]+...+[tex]\frac{n-1}{P_n}[/tex]<1

Nên viết P_n = n! cho gọn nhỉ

Tức là c/m 1 + 1.1! + 2.2! + 3.3! + ... + n.n! = (n+1)!
Để ý là (n+1)! - n.n! = n! (dễ chứng minh)
\Rightarrow ...

Thấy cách này nó hơi là bất thường

Tớ thử dùng quy nạp thui
Thử với n = 1 đung
Giả sử n = k đúng hay 1 + 1.1! + 2.2! + 3.3! + ... + k.k! = (k+1)!
Ta cần c/m
1 + 1.1! + 2.2! + 3.3! + ... + (k+1).(k+1)! = (k+2)!
\Leftrightarrow (k+1)! + (k+1).(k+1)! = (k+2)!
Cái này đúng nên suy ra đpcm

Câu b chưa làm nhưng cũng thử dùng quy nạp xem

 

[tuyn]

Với mỗi số nguyên dương n , đặt [tex] P_n[/tex]=1.2.3....n /(tích các sô tự nhiên liên tiếp tư 1 đến n)
Chứng minh:

a) 1+1.[tex]P_1[/tex] +2.[tex]P_3[/tex]+....+n.[tex]P_n[/tex]=[tex]P_(n+1)[/tex]

[TEX]kP_k=[(k+1)-1]P_k=(k+1)P_k-P_k=P_{k+1}-P_k cho k= 1,2,....n[/TEX]
[TEX]\Rightarrow 1.[tex]P_1[/tex] +2.[tex]P_3[/tex]+....+n.[tex]P_n=P_2-P_1+P_3-P_2+...+P_{n+1}-P_n=P_{n+1}-P_1=P_{n+1}-1[/TEX]
[TEX]b) \frac{k}{P_{k+1}}=\frac{k}{(k+1)!}< \frac{k+1}{(k+1).k.(k-1)!} < \frac{1}{k(k-1)} =\frac{1}{k-1}-\frac{1}{k}[/TEX]
[TEX]cho k=2,3...,n-1. \frac{1}{P_2}=1-\frac{1}{2}[/TEX]
[TEX]\Rightarrow \frac{1}{P_2}+\frac{2}{P_3}+...+\frac{n-1}{P_n} < 1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+...+\frac{1}{n-2}-\frac{1}{n-1}=1-\frac{1}{n-2} < 1[/TEX]