Mời các bạn thử sức với bài bđt nè

[lequangvinh9x]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Các bài toán về bpt, bđt, pt mũ và logarit

Mình lập ra cái topic này để các bạn cùng nhau post bài và giải các bài toán mũ và logarit..................
Mở đầu nè
B1)Cho [TEX]x+y\geq0[/TEX]
CMR [TEX]\frac{1}{1+4^x}+\frac{1}{1+4^y}\geq\frac{2}{1+2^{xy}}[/TEX]
B2)Gpt
[TEX](\frac{1+a^2}{2a})^x-(\frac{1-a^2}{2a})^x=1[/TEX]

 

[hoangtrungneo]

Giải bài 1 trước

Mình lập ra cái topic này để các bạn cùng nhau post bài và giải các bài toán mũ và logarit..................
Mở đầu nè
B1)Cho [TEX]x+y\geq0[/TEX]
CMR [TEX]\frac{1}{1+4^x}+\frac{1}{1+4^y}\geq\frac{2}{1+2xy}[/TEX]

Bài làm​

Áp dựng BĐT Côsi cho 2 số ở VT ta đc:

[TEX]\frac{1}{1+4^x}+\frac{1}{1+4^y} \geq 2.\sqrt[]{\frac{1}{(1+4^x).(1+4^y)}}[/TEX]

[TEX]\Leftrightarrow \frac{1}{1+4^x}+\frac{1}{1+4^y} \geq 2.\sqrt[]{\frac{1}{1+2^{2x} +2^{2y} +2^{2x}.2^{2y}}[/TEX]

[TEX]\Leftrightarrow \frac{1}{1+4^x}+\frac{1}{1+4^y} \geq 2.\sqrt[]{\frac{1}{1+{(2^x +2^y)}^2 +2.2^{x+y}}[/TEX]

[TEX]\Leftrightarrow \frac{1}{1+4^x}+\frac{1}{1+4^y} \geq 2.\sqrt[]{\frac{1}{{(1+2^{x+y})}^2}[/TEX]

[TEX]\Leftrightarrow \frac{1}{1+4^x}+\frac{1}{1+4^y} \geq \frac{2}{{(1+2^{x+y})}[/TEX] (do x+y \geq0)

Chứng minh xong mới thấy cậu chép sai đề! Cậu nhìn lại xem:
[TEX]1+2^{x+y}[/TEX] chứ có phải 1+2xy đâu!

 

[hoangtrungneo]

Sửa lại bài 1

đặt [TEX]2^x=a[/TEX],[TEX]2^y=b[/TEX] theo điều kiện ta có a,b \geq 1

BĐT [TEX]\Leftrightarrow \frac{1}{1+a^2}+\frac{1}{1+b^2} \geq \frac{2}{1+ab}[/TEX]

[TEX]\Leftrightarrow (ab-1)(a-b)^2 \geq 0[/TEX]

hiển nhiên đúng theo điều kiện
ta có ĐPCM

 

[ctsp_a1k40sp]

Bài làm​

Áp dựng BĐT Côsi cho 2 số ở VT ta đc:

[TEX]\frac{1}{1+4^x}+\frac{1}{1+4^y} \geq 2.\sqrt[]{\frac{1}{(1+4^x).(1+4^y)}}[/TEX]

[TEX]\Leftrightarrow \frac{1}{1+4^x}+\frac{1}{1+4^y} \geq 2.\sqrt[]{\frac{1}{1+2^{2x} +2^{2y} +2^{2x}.2^{2y}}[/TEX]

[TEX]\Leftrightarrow \frac{1}{1+4^x}+\frac{1}{1+4^y} \geq 2.\sqrt[]{\frac{1}{1+{(2^x +2^y)}^2 +2.2^{x+y}}[/TEX]

[TEX]\Leftrightarrow \frac{1}{1+4^x}+\frac{1}{1+4^y} \geq 2.\sqrt[]{\frac{1}{{(1+2^{x+y})}^2}[/TEX]

[TEX]\Leftrightarrow \frac{1}{1+4^x}+\frac{1}{1+4^y} \geq \frac{2}{{(1+2^{x+y})}[/TEX] (do x+y \geq0)

Chứng minh xong mới thấy cậu chép sai đề! Cậu nhìn lại xem:
[TEX]1+2^{x+y}[/TEX] chứ có phải 1+2xy đâu!

bài của bạn sai khi công nhận
[TEX]2^{2x}.2^{2y}=[/TEX]
[TEX]2.2^{x+y}[/TEX]
vì thực chất
[TEX]2^{2x}.2^{2y}=(2^{x+y})^2[/TEX]
_______
Trước tiên mình xin sửa đề lại như bạn đã nói ở trên
[TEX]1+2^{x+y}[/TEX] chứ ko phải 1+2xy
đơn giản lấy x=y=0 ta thấy ngay nếu ko sửa đề bdt \Leftrightarrow [TEX]1 \geq 2[/TEX] vô lý

_______
bài này lời giải đúng như sau
đặt [TEX]2^x=a,2^y=b[/TEX] theo điều kiện ta có [TEX]a,b \geq 1[/TEX]
bdt [TEX]\Leftrightarrow \frac{1}{1+a^2}+\frac{1}{1+b^2} \geq \frac{2}{1+ab}[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow (ab-1)(a-b)^2 \geq 0[/TEX]
hiển nhiên đúng theo điều kiện
ta có dpcm

 

[lequangvinh9x]

tiếp nè
1)cho [TEX]x>0[/TEX], CMR [TEX]e^x>1+x+\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{6}[/TEX]
2) Giải bpt [TEX]3log_3(1+\sqrt x+\sqrt[3]x)\leq 2log_2\sqrt x[/TEX]
3)CMR với mọi [TEX]m>0[/TEX] pt: [TEX]x^2+2x-8=\sqrt{m(x-2)}[/TEX] có 2 nghiệm thực phân biệt
4) Cho [TEX]x,y>0[/TEX] và[TEX]x+y=1[/TEX]. Tìm max, min của [TEX]P=3^x+9^y[/TEX]