Mở rộng bài toán Vòng xiếc

[keh_hikari_f@yahoo.com.vn]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Đây là vấn đề mình mới nghĩ ra thôi! Mở rộng một chút bài toán này. Bằng cách xét nhiều khả năng, ta sẽ có cái nhìn tổng quát hơn và liên hệ được nhiều bài toán lại với nhau.

Bài toán như sau:
"Tại điểm thấp nhất của một vòng xiếc tròn bán kính R khép kín, đặt một vật khối lượng m. Người ta truyền cho vật một vận tốc [TEX]v_0[/TEX] theo phương ngang để vật leo lên vòng xiếc. Bỏ qua mọi ma sát, cho gia tốc trọng trường là g. Hãy mô tả các chuyển động có thể của vật theo vận tốc ban đầu vật được truyền?"

 

[congratulation11]

Do bỏ qua ma sát nên cơ năng của vật là 1 đại lượng bảo toàn. Chọn mốc tính thế tại vị trí O.

Xét 1 vị trí A bất kì. Áp dụng DLBT cơ cho 2 vị trí A và O, ta có:

$\frac{1}{2}mv_o^2=mgR(1+cos\alpha)+\frac{1}{2}mv_A^2 \\ \leftrightarrow v_o^2=2gR(1+cos\alpha)+v_A^2 \\ \rightarrow v_A^2=v_o^2-2gR(1+cos\alpha) \ \ (1)$

Theo định luật II Niuton, tại A ta có:

$N+mg.cos\alpha=\dfrac{mv_A^2}{R} \\ \rightarrow N=\dfrac{mv_A^2}{R}-mg.cos\alpha \ \ (2)$

Từ (1) và (2), ta được: $N=\dfrac{m}{R}[v_o^2-2gR(1+cos\alpha)]-mg.cos\alpha \\ N =m(\dfrac{v_o^2}{R}-2g-3g.cos\alpha) \ \ ( * )$

---------------------Biện luận------------------------​

**Để vật có thể vượt qua hết vòng xiếc thì: $N_{min}\ge 0$

Từ $( * )$ ta có: $N_{min}=m(\dfrac{v_o^2}{R}-5g) \\ \rightarrow N_{min} \ge 0 \leftrightarrow \dfrac{v_o^2}{R}-5g \ge 0 \\ \leftrightarrow v_o^2\ge 5gR$

**Gọi B là vị trí vật bắt dầu rời vòng xiếc hoặc trượt trở xuống.

Khi đó: $N_B=0 \\ \rightarrow m(\dfrac{v_o^2}{R}-2g-3g.cos\alpha) =0 \\ \rightarrow v_o^2=gR(2+3.cos\alpha)$

--Để vật rời khỏi vòng xiếc thì $0^o<\alpha<90^o \leftrightarrow 1>cos\alpha>0$

$\rightarrow 2gR<v_o^2<5gR$

--Để vật trượt trở xuống thì $90^o\le \alpha \le 180^o \leftrightarrow 0\ge cos\alpha \ge -1$

$\rightarrow 2gR\ge v_o^2\ge 0$

Kết luận:

--Vật đi hết vòng xiếc: $\fbox{$v_o\ge\sqrt{5gR}$}$

--Vật không đi hết và trượt trở xuống: $\fbox{$\sqrt{2gR}\ge v_o\ge 0$}$

--Vật không đi hết và rơi khỏi vòng xiếc: $\fbox{$\sqrt{2gR}<v_o<\sqrt{5gR}$}$

 

[keh_hikari_f@yahoo.com.vn]

Kết luận:

--Vật đi hết vòng xiếc: $\fbox{$v_o>\sqrt{5gR}$}$

--Vật không đi hết và trượt trở xuống: $\fbox{$\sqrt{2gR}\ge v_o\ge 0$}$

--Vật không đi hết và rơi khỏi vòng xiếc: $\fbox{$\sqrt{2gR}<v_o<\sqrt{5gR}$}$

Bài này sẽ khá nhạt nhẽo nếu chỉ giải đến đây vì ta chưa mô tả hết chuyển động của vật:
-Nếu đi hết vòng xiếc thì chuyển động sau đó sẽ ra sao?
-Nếu vật trượt trở xuống thì chuyển động có tính chất gì?
-Hay nhất là nếu rơi xuống thì tính chất chuyển động là gì, và khi chạm mặt vòng có một hiện tượng xảy ra đó là vật bật qua bật lại hai bên thành vòng, liệu có tương tự một bài trước đây ta từng làm không?

Bài toán này chủ yếu là khai thác toàn bộ chuyển động của vật trong vòng xiếc trong điều kiện lý tưởng nhất. Nó sẽ lòi ra những vấn đề mà trước giờ ta chưa hề nghĩ tới trong việc khảo sát chuyển động của vật tới mức gần như đầy đủ

Có hứng thú làm tiếp không?

 

[congratulation11]

Mô ta cđ tiếp theo của vật.

Th1: Vật đi hết vòng xiếc. $v_o \ge \sqrt{5gR}$

Cơ năng của vật là 1 đại lượng bảo toàn, vậy nên khi tới vị trí O ban đầu, vật lại có vận tốc $v_o$ và cứ thế cđ, lien tục lặp lại xu hướng cđ này.

Quả là t/h này rất lí tưởng/

Th2: Vật không đi hết vòng xiếc và trượt trở xuống. $ 0 \le v_o \le \sqrt{2gR}$

Cơ năng của vật bảo toàn, vậy nên khi trượt về O, vật vẫn có vận tốc $v_o$, nhưng hướng ngược lại, vật lúc này có xu hướng trượt trên mp nghiêng.

Đến đây có lẽ ta nên chia 2 t/h nhỏ hơn để xét: (chắc trên mp nghiêng cũng không có ma sát đâu nhỉ)

+ Mp nghiêng không đủ cao, vật có thể trượt qua hết mp nghiêng, sau đó cđ như vật vị ném xiên từ đỉnh mp nghiêng.
+ Mp nghiêng đủ cao để vật không thể trượt qua, đến 1 lúc nào đó nó dừng lại trên mp nghiêng ồi lại trượt xuống, lại cđ như cũ và cứ thế…

Th3: Vật không đi hết vòng xiếc và rời khỏi vòng xiếc. $\sqrt{2gR}< v_o <\sqrt{5gR}$

Ngay từ khi rời thì vật cđ như vật bị ném xiên. Nhỉ!

Lúc rơi xuống thì tất nhiên sẽ va chạm rồi. Va chạm đàn hồi...

Ờ, dự đoán là vật sẽ rơi xuống phần bán cầu phía dưới, tại sao thì CM sau

Do va chạm đàn hồi nên phương của các vận tốc trước và sau va chạm đối xứng nhau qua mp va chạm...

À, như thế nó sẽ cđ từ bên này qua bên kia với 2 đường quỹ đạo. Như sau:

Hay quá, vậy bây giờ chỉ cần CM cái bên trên là xong!

 

[keh_hikari_f@yahoo.com.vn]

Giải quyết và mở rộng vấn đề

Th1: Vật đi hết vòng xiếc. $v_o \ge \sqrt{5gR}$

Cơ năng của vật là 1 đại lượng bảo toàn, vậy nên khi tới vị trí O ban đầu, vật lại có vận tốc $v_o$ và cứ thế cđ, lien tục lặp lại xu hướng cđ này.

Quả là t/h này rất lí tưởng/

Th2: Vật không đi hết vòng xiếc và trượt trở xuống. $ 0 \le v_o \le \sqrt{2gR}$

Cơ năng của vật bảo toàn, vậy nên khi trượt về O, vật vẫn có vận tốc $v_o$, nhưng hướng ngược lại, vật lúc này có xu hướng trượt trên mp nghiêng.

Đến đây có lẽ ta nên chia 2 t/h nhỏ hơn để xét: (chắc trên mp nghiêng cũng không có ma sát đâu nhỉ)

+ Mp nghiêng không đủ cao, vật có thể trượt qua hết mp nghiêng, sau đó cđ như vật vị ném xiên từ đỉnh mp nghiêng.
+ Mp nghiêng đủ cao để vật không thể trượt qua, đến 1 lúc nào đó nó dừng lại trên mp nghiêng ồi lại trượt xuống, lại cđ như cũ và cứ thế…

Th3: Vật không đi hết vòng xiếc và rời khỏi vòng xiếc. $\sqrt{2gR}< v_o <\sqrt{5gR}$

Ngay từ khi rời thì vật cđ như vật bị ném xiên. Nhỉ!

Lúc rơi xuống thì tất nhiên sẽ va chạm rồi. Va chạm đàn hồi...

Ờ, dự đoán là vật sẽ rơi xuống phần bán cầu phía dưới, tại sao thì CM sau

Do va chạm đàn hồi nên phương của các vận tốc trước và sau va chạm đối xứng nhau qua mp va chạm...

À, như thế nó sẽ cđ từ bên này qua bên kia với 2 đường quỹ đạo. Như sau:

Hay quá, vậy bây giờ chỉ cần CM cái bên trên là xong!

Có vấn đề nhỏ: Mặt phẳng nghiêng ở đâu ra vậy? Đọc kỹ đề xem có cái mặt phẳng nghiêng nào không ) Cái này rõ ràng là nhiễm mấy bài kia quá nhiều nên cứ gặp là phăng dzô cái mặt phẳng nghiêng mà không thèm chú ý đề nói gì =]]

Việc chứng minh xem vật có nhảy qua nhảy lại được không là vô cùng quan trọng ... Đừng chủ quan rằng nó sẽ nhảy được, vì rõ ràng nếu vận tốc rơi xuống quá lớn thì làm gì có chuyện nó sẽ nhảy qua lại giữa hai điểm đối xứng nhau qua mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng vòng ... Mình chưa giải chỗ này nhưng mình đoán quả cầu sẽ nhảy một cách rất phức tạp trong võng xiếc ...

Nếu đã tìm ra chuyển động của quả cầu trong vòng rồi thì hãy phân tích chi tiết chuyển động: Li độ theo thời gian, chu kỳ của dao động, và nhiều thứ khác ... Cái này lớp 10 chưa làm dược đâu (và mình cũng chưa) nhưng có thể coi đó là mục tiêu để phấn đấu

 

[saodo_3]

Việc chứng minh xem vật có nhảy qua nhảy lại được không là vô cùng quan trọng ... Đừng chủ quan rằng nó sẽ nhảy được, vì rõ ràng nếu vận tốc rơi xuống quá lớn thì làm gì có chuyện nó sẽ nhảy qua lại giữa hai điểm đối xứng nhau qua mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng vòng ... Mình chưa giải chỗ này nhưng mình đoán quả cầu sẽ nhảy một cách rất phức tạp trong võng xiếc ...

Nếu vận tốc lớn thì nó đã chuyển động tròn luôn rồi chứ còn đâu mà va chạm phức tạp )

 

[keh_hikari_f@yahoo.com.vn]

Nếu vận tốc lớn thì nó đã chuyển động tròn luôn rồi chứ còn đâu mà va chạm phức tạp )

Một vật rơi xuống với vận tốc lớn, va chạm đàn hồi với một mặt cong thì làm sao xảy ra chuyện động tròn được? Nó sẽ va đập liên tiếp rất nhanh vào thành vòng chứ, đúng không?

Cụm từ "va chạm phức tạp" theo ý mình tức là quả cầu sẽ đập vào thành vòng tại những vị trí liên tiếp không có tính đối xứng qua mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng vòng

 

[saodo_3]

Một vật rơi xuống với vận tốc lớn, va chạm đàn hồi với một mặt cong thì làm sao xảy ra chuyện động tròn được? Nó sẽ va đập liên tiếp rất nhanh vào thành vòng chứ, đúng không?

Mời bạn tiếp tuc suy ngẫm câu nói trên .

Hãy cứ suy nghĩ đi )

 

[keh_hikari_f@yahoo.com.vn]

Mời bạn tiếp tuc suy ngẫm câu nói trên .

Hãy cứ suy nghĩ đi )

Hình như cả bạn và congratulation11 cùng có chung một ý nghĩ thì có lẽ cái này có được nói trong cuốn sách nào rồi thì phải ) Nếu có thì mình chưa đọc ... Nhưng theo ý hai người thì mình hiểu thế này: Khi góc tới của va chạm (góc giữa giá của vecto vận tốc và bán kính) càng lớn thì vật sẽ va đập càng nhiều lần với thành vòng. Vận tốc rất lớn nên coi như quỹ đạo lúc này là một đa giác. Đa giác cạnh càng nhiều thì sẽ gần như tròn, nên coi đây là chuyển động tròn.

Nếu theo hướng đó là đúng thì mình xin phép đưa hai trường hợp:
-Góc tới bằng 0, quỹ đạo là một đường kính của vòng, vật va đập liên tục theo quỹ đạo đó, không thể coi là tròn cho đến khi sự lệch quỹ đạo do trọng trường tác dụng lên trở nên đáng kể, làm góc tới tăng dần.
-Tương tự, góc tới bằng 30 độ thì quỹ đạo ban đầu sẽ là tam giác đều.

Việc coi quỹ đạo có tròn hay không phụ thuộc vào góc tới ban đầu. Góc tới là rất nhỏ thì phải mất một khoảng thời gian dài nhưng hữu hạn thì góc tới mới tăng dần và vật chuyển động tròn. Nói ngay rằng chuyển động là tròn thì không hợp lý!

Giải thích thế này ổn không nhỉ?

 

[saodo_3]

Trời đất.

Mục tiêu chú post bài này trên Trái Đất là để anh em xét một cách toàn diện vấn đề. Nhưng chú lại nhìn nhận phiến diện cái chỗ này rồi. )

[TEX]v_o > \sqrt[]{5gR}[/TEX] thì vật chuyển động tròn.

[TEX]v_o < \sqrt[]{5gR}[/TEX] thì vật rời khỏi vòng tròn và xảy ra va chạm.

Với cái vận tốc chỉ gần [TEX] \sqrt[]{5gR}[/TEX] thì nó không thể xảy ra va chạm nhiều lần như thế được. Suy nghĩ định tính là như vậy.

 

[keh_hikari_f@yahoo.com.vn]

Trời đất.

Mục tiêu chú post bài này trên Trái Đất là để anh em xét một cách toàn diện vấn đề. Nhưng chú lại nhìn nhận phiến diện cái chỗ này rồi. )

[TEX]v_o > \sqrt[]{5gR}[/TEX] thì vật chuyển động tròn.

[TEX]v_o < \sqrt[]{5gR}[/TEX] thì vật rời khỏi vòng tròn và xảy ra va chạm.

Với cái vận tốc chỉ gần [TEX] \sqrt[]{5gR}[/TEX] thì nó không thể xảy ra va chạm nhiều lần như thế được. Suy nghĩ định tính là như vậy.

Chời đất! Hai đứa đang nói vấn đề gì vậy ... Việc mình giả sử vận tốc rất lớn là để thấy rằng không phải bất kỳ vận tốc nào sau khi ném xiên xong chạm vào thành cũng có thể cho ra một chuyển động va đập liên tục đối xứng được ... Và khi bạn đào sâu việc vận tốc lớn thì chuyển động sẽ là tròn thì mình đã phanh nó ra hết rồi ...

Và cái việc vận tốc bé hơn sqrt(5gR) có cho va chạm nhiều lần không thì đang cần chứng minh đây )

p/s: Có lẽ chúng ta nên bình tĩnh ngồi xuống ăn miếng bánh, uống miếng nước rồi bắt đầu lại thì sẽ ổn hơn ... Trước mắt là thấy người này nói một đằng, người kia hiểu một nẻo rồi đó =]]

 

[saodo_3]

Và cái việc vận tốc bé hơn sqrt(5gR) có cho va chạm nhiều lần không thì đang cần chứng minh đây )

p/s: Có lẽ chúng ta nên bình tĩnh ngồi xuống ăn miếng bánh, uống miếng nước rồi bắt đầu lại thì sẽ ổn hơn ... Trước mắt là thấy người này nói một đằng, người kia hiểu một nẻo rồi đó

Ờ, công nhận là mình đã suy nghĩ ẩu chỗ này.

Xin tạ lỗi với vị huynh đệ này 1 chén. ~O)

Nó.....

Va chạm chả có quy luật nào hết.

 

[congratulation11]

Ghê thật!

Em thì nghĩ thế này:

Trên hình vẽ thể hiện 4 vị trí va chạm, điều này chỉ minh hoạ cho 1 vài th, không mang tính tổng quát!

 

[keh_hikari_f@yahoo.com.vn]

Ờ, công nhận là mình đã suy nghĩ ẩu chỗ này.

Xin tạ lỗi với vị huynh đệ này 1 chén. ~O)

Nó.....

Va chạm chả có quy luật nào hết.

Đa tạ đa tạ! Đệ xin nhận một chén của huynh

Dù gì cũng phải học hỏi ở thế hệ đi trước nhiều )

Và congratulation11 mới vẽ gần đúng điều đệ muốn nói đó =]] Thực chất đệ tưởng tượng nó va chạm phức tạp như con lắc kép ấy, phải rất lâu sau mới kết thúc một chu kỳ ... Tiếc là giờ đang vướng chô tìm giao điểm của vòng và parabol để ra được tọa độ và góc chạm ... Làm không nổi nên hết hứng làm tiếp (

 

[keh_hikari_f@yahoo.com.vn]

Ghê thật!

Em thì nghĩ thế này:

Trên hình vẽ thể hiện 4 vị trí va chạm, điều này chỉ minh hoạ cho 1 vài th, không mang tính tổng quát!

Gần đúng tưởng tượng cùa mình ) nhưng đúng hay không thì chưa thể kết luận được ...

Bài toán mở ra tới đây mới thấy đa số người đã bỏ sót rất nhiều thứ hay ho ) Mình thì chưa tìm được hướng đi để giải khúc này ... Không có ý tưởng nên tắt luôn ( Chắc chờ một thời gian, khi nào đột nhiên có hứng trở lại mới làm tiếp nổi ...

Nếu bạn có hứng thú cứ làm tiếp rồi chia sẻ cách làm hé

 

[congratulation11]

Đề đã cho rất tổng quát mà!

Nếu tìm giao điểm thì cũng chỉ mang tính tổng quát...

Em thấy nó chả cần...

--------------

P.s: Công nhận minh có quá nhiều ý tưởng ... )

 

[saodo_3]

) Nó vẽ tào lao thế mà cũng khen. Quỹ đạo của vật lúc nào cũng là Parabol cong xuống mới phải.

 

[keh_hikari_f@yahoo.com.vn]

Đề đã cho rất tổng quát mà!

Nếu tìm giao điểm thì cũng chỉ mang tính tổng quát...

Em thấy nó chả cần...

--------------

P.s: Công nhận minh có quá nhiều ý tưởng ... )

Trời ... Sao không cần được ... Mỗi giá trị năng lượng ban đầu truyền cho vật sẽ cho ra vị trí chạm khác nhau, đồng thời cách va chạm cũng khác nhau nữa =.=''

Có thể ý của hai đứa mình không giống:
-Bạn thì tách ra bài toán nhỏ: Cho quả cầu va chạm vào thành vòng với vận tốc đầu và góc tới cho trước. Từ đó tìm quỹ đạo của quả câu. Giải xong thì đem ráp với bài vòng xiếc sẽ ra bài toán lớn hơn.
-Còn mình thì giải tiếp bài toán vòng xiếc luôn, nó chỉ là một phần nhỏ trong bài toán của bạn định giải, cách của bạn tổng quát hơn mới đúng )

Bây giờ là không còn vòng xiếc nữa mà đã chuyển sang một bài toán mới ... Mở topic mới được rồi đó =]]

 

[keh_hikari_f@yahoo.com.vn]

) Nó vẽ tào lao thế mà cũng khen. Quỹ đạo của vật lúc nào cũng là Parabol cong xuống.

Hoan nghênh ý tưởng chứ! Đáng khen mà!
Chả nhẽ công sức thằng nhỏ vẽ "mấy-tiếng-đồng-hồ" mà mình đi nói nó vẽ sai thì chả khác nào dập lửa trong người nó =]]

p/s: Lạc đề, không chừng có đứa xóa post =]]

 

[congratulation11]

Ơ thế kết 1 câu đi chứ.... Cái va chạm này rất là thú vị, nhưng lằng nhằng quá.

@Sao do: Sao anh bảo nó va chạm không có quy luật gì hết mà, lại bảo luôn là Parabol hướng xuống! :3

@keh...: anh bảo ý tưởng "mới" của em gần giống em mà...

Vậy kết lại nó dạng thế này ạ??? Cứ để lơ lửng thế hơi phí!