Cho tam giác ABC nhọn, các đường cao AA';;BB';CC' , H là trực tâm. Tam giác ABC như thế nào thì biểu thức [tex](AB+BC+CA)^2/AA'^2 + BB'^2 + CC'^2[/tex] đạt giá trị nhỏ nhất
từ C kẻ Cx vuông góc với CC'
lấy D là điểm đối xứng của A qua Cx
gọi giao Cx và AD là E
=> tứ giác AC'CE là hcn
=> góc C'AE=90; CC'= AE=1/2 AD => AD=2.CC'
do D đối xứng A qua Cx => AC=CD
-Xét 3 điểm B;C;D => BC+CD <= BD
mà tam giác BAD vuông tại A, áp dụng định lý Pitago có:
AB^2+AD^2=BD^2
=> AB^2+AD^2 <= (BC+CD)^2
<=> 4.CC' <= (BC+AC)^2-AB^2
CMTT => 4.AA' <= (AB+AC)^2-BC^2
4.BB' <= (AB+BC)^2-AC^2
cộng từng vế
=> 4.(AA'+BB'+CC') <= (BC+AC)^2-AB^2 + (AB+AC)^2-BC^2+(AB+BC)^2-AC^2
<=> 4.(AA'+BB'+CC')<= BC^2+AC^2+2.AC.BC-AB^2+AB^2+AC^2+2.AB.AC-BC^2+AB^2+BC^2+2.AB.BC-AC^2
<=> 4.(AA'+BB'+CC') <= (AB+AC+BC)^2
=> (AB+AC+BC)^2/ (AA'+BB'+CC') >=4
dấu "=" xảy ra khi tam giác ABC đều
[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
