CMR với mọi số thực x ta luôn có:
[TEX]ln(1+\sqrt{1+e^{2x}}) < e^{-x}+ x[/TEX]
[TEX]\begin{array}{l} f(x) = \ln \left( {1 + \sqrt {1 + e^{2x} } } \right) - e^{ - x} - x \\ f'(x) = \frac{1}{{\left( {1 + \sqrt {1 + e^{2x} } } \right)}}.\frac{{e^{2x} }}{{\sqrt {1 + e^{2x} } }} + e^{ - x} - 1 = \frac{{e^{2x} - 1 - e^{2x} - \sqrt {1 + e^{2x} } + e^{ - x} \left( {1 + \sqrt {1 + e^{2x} } } \right)\sqrt {1 + e^{2x} } }}{{\sqrt {1 + e^{2x} } \left( {1 + \sqrt {1 + e^{2x} } } \right)}} \\ = \frac{{\left( {e^{ - x} \sqrt {1 + e^{2x} } - 1} \right)}}{{\sqrt {1 + e^{2x} } }} = \frac{1}{{e^x \sqrt {1 + e^{2x} } \left( {e^x + \sqrt {1 + e^{2x} } } \right)}} > 0 \\ \end{array}[/TEX]
suy ra f(x) đồng biến suy ra [TEX]f(x) < f\left( { + \infty } \right)[/TEX]ta tính limf(x) khi x tiến đến vô cùng
[TEX]{\lim }\limits_{x - > + \infty } f(x) = {\lim }\limits_{x - > + \infty } \left[ {\ln \left( {1 + \sqrt {1 + e^{2x} } } \right) - e^{ - x} - x} \right] = {\lim }\limits_{x - > + \infty } \left[ {\ln \left[ {\frac{{\left( {1 + \sqrt {1 + e^{2x} } } \right)}}{{e^x }}} \right] - e^{ - x} } \right] = {\lim }\limits_{x - > + \infty } \left[ {\ln \left( {\frac{1}{{e^x }} + \sqrt {\frac{1}{{e^{2x} }} + 1} } \right) - e^{ - x} } \right] = 0[/TEX]
suy ra dpcm
[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
