Toán 9 Min Max

[huyenhuyen5a12]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Giúp e với ạ, e cảm ơn

 

[7 1 2 5]

Ta sẽ chứng minh [tex]\frac{x^2}{y+z}+\frac{y^2}{x+z}+\frac{z^2}{x+y} \geq \frac{x^2}{x+y}+\frac{y^2}{y+z}+\frac{z^2}{z+x} \Leftrightarrow x^2(\frac{1}{y+z}-\frac{1}{x+y})+y^2(\frac{1}{x+z}-\frac{1}{y+z})+z^2(\frac{1}{z+y}-\frac{1}{x+z}) \geq 0 \Leftrightarrow x^2(x-z)(x+z)+y^2(y-x)(y+z)+z^2(z-y)(z+y) \Leftrightarrow x^4+y^4+z^4 \geq x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2[/tex]
Mà lại có [tex]\frac{x^2}{x+y}+\frac{y^2}{y+z}+\frac{z^2}{z+x}=\frac{y^2}{x+y}+\frac{z^2}{y+z}+\frac{x^2}{z+x}[/tex](bạn có thể lấy VT - VP rồi nhóm hạng tử thích hợp) nên [tex]\frac{x^2}{y+z}+\frac{y^2}{x+z}+\frac{z^2}{x+y} \geq \frac{1}{2}(\frac{x^2+y^2}{x+y}+\frac{y^2+z^2}{y+z}+\frac{z^2+x^2}{z+x}) \geq \frac{1}{2}.\frac{(\sqrt{x^2+y^2}+\sqrt{y^2+z^2}+\sqrt{z^2+x^2})^2}{2(x+y+z)}=\frac{2020^2}{4(x+y+z)}[/tex]
Ta lại thấy rằng [tex]x+y \leq \sqrt{2(x^2+y^2)} \Rightarrow 2(x+y+z) \leq \sqrt{2}(\sqrt{x^2+y^2}+\sqrt{y^2+z^2}+\sqrt{z^2+x^2})=\sqrt{2}.2020\Rightarrow x+y+z \leq \sqrt{2}.1010[/tex]
Vậy [tex]\frac{x^2}{y+z}+\frac{y^2}{x+z}+\frac{z^2}{x+y} \geq \frac{2020^2}{4.\sqrt{2}.1010}=505\sqrt{2}[/tex]
Dấu "=" xảy ra khi [TEX]x=y=z=...[/TEX]

 

[kido2006]

View attachment 188713
Giúp e với ạ, e cảm ơn

[tex]H=\sum \frac{x^2}{y+z}\geq \sum \frac{x^2}{\sqrt{2(y^2+z^2)}}[/tex]
Đặt [tex](\sqrt{x^2+y^2},\sqrt{y^2+z^2},\sqrt{z^2+x^2})=(a,b,c)[/tex]
Bài toán trở thành : Cho $a+b+c=2020$
Tìm GTNN của [tex]H=\sum \frac{a^2+c^2-b^2}{b.2\sqrt{2}}[/tex]

Ta có [tex]H=\sum \frac{a^2+c^2-b^2}{b.2\sqrt{2}}=\frac{1}{2\sqrt{2}}(\sum \frac{a^2}{b}+\sum \frac{c^2}{b}-\sum a)\geq ^{C-S}\frac{1}{2\sqrt{2}}(\sum a+\sum a-\sum a)=\frac{1}{2\sqrt{2}}(\sum a)=2020.\frac{1}{2\sqrt{2}}=505\sqrt{2}[/tex]

Nếu còn thắc mắc bạn hãy trả lời dưới topic này để được hỗ trợ nhé ^^
Chúc bạn học tốt ^^

Câu này mình lấy ý tưởng từ đây nha ^^