Toán 9 Min Max

[huyenhuyen5a12]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Cho x,y,z>0 và xy+yz+xz=1. Tìm GTNN của biểu thức :
A= [tex]a(x^2+y^2)^2 + z^2 (a>0)[/tex]
B= [tex]ax^2 + by^2 + cz^2 (a,b,c>0)[/tex]
:<< Giúp em với ạ, em cảm ơn! Với lại có thể cho em xin phương pháp làm mấy dạng cân bằng hệ số trong bất đẳng thức Cô-si được không ạ, em đọc lí thuyết phần ấy mà chưa hiểu lắm.

 

[7 1 2 5]

a) Em xem lại câu a nhé.
b) Đặt [tex]\frac{a}{c}=m,\frac{b}{c}=n[/tex]
Ta có: [tex]B=c(mx^2+ny^2+z^2)[/tex]
Xét tham số [TEX]p,q,r[/TEX]
Ta có: [tex]px^2+qy^2 \geq 2\sqrt{pq}xy, (m-p)x^2+rc^2 \geq 2\sqrt{(m-p)r}xz,(n-q)y^2+(1-r)z^2 \geq 2\sqrt{(n-q)(1-r)}yz[/tex](1)
Dấu "=" xảy ra tại [tex]\left\{\begin{matrix} px^2=qy^2\\ (m-p)x^2=rz^2\\ (n-q)y^2=(1-r)z^2\Rightarrow \left\{\begin{matrix} y^2=\frac{p}{q}x^2\\ z^2=\frac{m-p}{r}x^2\\ (n-q)pr=(1-r)(m-p)q \end{matrix}\right. \end{matrix}\right.[/tex]
Chọn [TEX]p,q,r[/TEX] sao cho [TEX]\sqrt{pq}=\sqrt{(m-p)r}=\sqrt{(n-q)(1-r)}=k > 0[/TEX]
Ta có: [TEX]mn=(p+m-p)(q+n-q)(r+1-r)=2k^3+k^2(m+n+1)[/TEX]
Dễ thấy luôn tồn tại [TEX]k_0>0[/TEX] thỏa mãn đẳng thức trên.
Từ đó thì cộng vế theo vế các BĐT ở (1) ta có [TEX]B=c(mx^2+ny^2+z^2) \geq c.2k(xy+yz+zx)=2kc[/TEX]