Bài 1: tìm Min , Max của
A=x+y+z+xy+yz+xz biết rằng x^2+y^2+z^2=3
BÀi 2: Tìm Max của
A=a^2+b^2+c^2 biết [tex]-1\leq a,b,c\leq 3[/tex] và a+b+c = 1
Bài 2:
Cách khác
Vì [tex]-1\leq a\leq 3\Rightarrow (a+1)(a-3)\leq 0\Leftrightarrow a^{2}-2a-3\leq 0\Leftrightarrow a^{2}\leq 2a+3[/tex]
Tương tự: [tex]b^{2}\leq 2b+3;c^{2}\leq 2c+3[/tex]
Cộng vế với vế 3 BĐT trên được
[tex]A=a^{2}+b^{2}+c^{2}\leq 2a+3+2b+3+2c+3=2(a+b+c)+9=11[/tex]
Dấu "=" xảy ra <=> (a;b;c)=(3;-1;-1) và các hoán vị
Bài 1:
Max
+)[tex]x^{2}+y^{2}\geq 2\sqrt{x^{2}y^{2}}=2\left | xy \right |\geq 2xy[/tex]
Tương tự: [tex]y^{2}+z^{2}\geq 2yz[/tex]
[tex]z^{2}+x^{2}\geq 2zx[/tex]
Cộng vế với vế 3 BĐT trên được
[tex]2(x^{2}+y^{2}+z^{2})\geq 2(xy+yz+zx)\Leftrightarrow 3=x^{2}+y^{2}+z^{2}\geq xy+yz+zx[/tex]
+) Áp dụng BĐT Bunyakovsky ta có"
[tex]9=3(x^{2}+y^{2}+z^{2})\geq (x+y+z)^{2}\Rightarrow x+y+z\leq 3[/tex]
Suy ra [tex]A=x+y+z+xy+yz+zx\leq 3+3=6[/tex]
Dấu "=" xảy ra <=> x=y=z=1
Min
Đặt x+y+z=a
[tex]\Rightarrow[/tex] [tex]a^{2}=x^{2}+y^{2}+z^{2}+2(xy+yz+zx)=3+2(xy+yz+zx)\Rightarrow xy+yz+zx=\frac{a^{2}-3}{2}[/tex]
Khi đó [tex]A=a+\frac{a^{2}-3}{2}=\frac{a^{2}+2a-3}{2}=\frac{1}{2}(a+1)^{2}-2\geq -2[/tex]
Dấu "=" xảy ra <=> [tex]\left\{\begin{matrix} a=-1\\ x^{2}+y^{2}+z^{2}=3 \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x+y+z=-1\\ x^{2}+y^{2}+z^{2}=3 \end{matrix}\right.[/tex] <=>...
[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
