Toán 12 Min Max Số phức

[Raumdeuter]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Cho số phức z thảo mãn |z-4i-2|=4 Tìm giá trị nhỏ nhất của |z| . A. 1 B. 3 C. 7 D. 8
Cho em hỏi câu này có sai đề k ạ nếu k thì lm ntn ạ

 

[Alice_www]

Cho số phức z thảo mãn |z-4i-2|=4 Tìm giá trị nhỏ nhất của |z| . A. 1 B. 3 C. 7 D. 8
Cho em hỏi câu này có sai đề k ạ nếu k thì lm ntn ạ

Đặt $z=a+bi$
$|z-4i-2|=4\Rightarrow |(a-2)+(b-4)i|=4\Rightarrow (a-2)^2+(b-4)^2=16$
Ta có: $\left(\dfrac{a-2}{4}\right)^2+\left(\dfrac{b-4}{4}\right)^2=1$
Đặt $\left\{\begin{matrix}\sin \alpha =\dfrac{a-2}{4}\\\cos \alpha=\dfrac{b-4}{4}\end{matrix}\right.$
$\Rightarrow \left\{\begin{matrix}a=4\sin \alpha +2\\b=4\cos \alpha +4\end{matrix}\right.$
$|z|=\sqrt{a^2+b^2}=\sqrt{(4\sin \alpha +2)^2+(4\cos \alpha +4)^2}=\sqrt{36+16\sin \alpha+32\cos \alpha}$
Ta có: $-\sqrt5 \le \sin \alpha+2\cos \alpha\le \sqrt5$
Suy ra $|z|_{min}=\sqrt{36-16\sqrt{5}}$
Dấu "=" xảy ra khi $\left\{\begin{matrix} \sin \alpha=\dfrac{-1}{\sqrt5}\\\cos \alpha =\dfrac{-2}{\sqrt5}\end{matrix}\right.$
$\Rightarrow \left\{\begin{matrix} a=\dfrac{-4\sqrt5}{5}+2\\b =\dfrac{-8\sqrt5}{5}+4\end{matrix}\right.$
Có gì khúc mắc em hỏi lại nhé <3

 

[Raumdeuter]

vậy bài này sai đáp án phải k ạ. mà chị ơi bài này nó hỏi mô đun min thôi nên sao mình không giải = công thức ||A|-|B|| =< |A-B| >= |A|+|B|

 

[Kaito Kidㅤ]

vậy bài này sai đáp án phải k ạ. mà chị ơi bài này nó hỏi mô đun min thôi nên sao mình không giải = công thức ||A|-|B|| =< |A-B| >= |A|+|B|

Bài này có nhiều cách làm bạn nhé, mình chia sẻ thêm 2 cách ngoài cách của anh Phương nhé
Cách 1:
[tex]4=|z-4i-2|\leq |z| +|2+4i|\\\Leftrightarrow 4\leq |z|+\sqrt{20}\\\Leftrightarrow |z| \geq 4-\sqrt{20}[/tex]
Và thế là ra kết quả?, tuy nhiên đây là 1 cách làm sai , vì nếu như vậy, đẳng thức xảy ra khi:
[tex]z=k(-2-4i)\\\Leftrightarrow 4-\sqrt{20}=|k|.\sqrt{20}\\\Leftrightarrow |k|=\dfrac{4-\sqrt{20}}{\sqrt{20}}[/tex]
Điều này vô lí vì $VP<0$ do đó không xảy ra dấu "="
Vậy bài này phải làm như sau:
[tex]4=|z-4i-2|\geq ||z|-|-2-4i||\\\Leftrightarrow 4\geq ||z|-\sqrt{20}|\\\Leftrightarrow \sqrt{20}-4\leq |z|\leq \sqrt{20}+4[/tex]
$\displaystyle |z|_{\min}$ đẳng thức xảy ra khi:
[tex]z= k(-2-4i), k \geq 0 \\\Leftrightarrow \sqrt{20}-4=k.\sqrt{20}\\\Leftrightarrow k=\dfrac{\sqrt{20}-4}{\sqrt{20}}\\\rightarrow z=\dfrac{\sqrt{20}-4}{\sqrt{20}}(-2-4i)[/tex]
Cách 2:
Điểm biểu diễn số phức $|z|$ là đường tròn tâm $I(2;4) ,R=4$

Gọi $A$ là điểm biểu diễn số phức $z$
Dễ thấy [tex]OI-R\leq OA\leq OI+R[/tex] hay chính là $\sqrt{20}-4\leq |z|\leq \sqrt{20}+4$

 

[Raumdeuter]

Ở cách 1:sao |z| min thì z= k.(-2-4i) vậy ạ
Ở cách 2: sao lại có bđt OI-R =< OA >= OI+R ạ