Toán 9 Min , Max hình học

Cheems

Học sinh chăm học
Thành viên
12 Tháng mười một 2020
649
584
121
Hà Nội
THCS ko noi
[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Cho tam giác ABC , góc A = 90 độ, đường tròn tâm (O) nội tiếp tam giác, đường thẳng d thay đổi
qua O, cắt các cạnh AB, AC tương ứng tại E, F. Xác định vị trí đường thẳng d để tứ giác
BCFE có diện tích lớn nhất.
Mong mn giúp em gấp ạ !
 

iceghost

Cựu Mod Toán
Thành viên
TV BQT xuất sắc nhất 2016
20 Tháng chín 2013
5,018
7,484
941
TP Hồ Chí Minh
Đại học Bách Khoa TPHCM
Kẻ đường phân giác $AD$

Để $BCFE$ có diện tích lớn nhất thì $AEF$ có diện tích nhỏ nhất hay tỉ lệ $\dfrac{S_{AEF}}{S_{ABC}} = \dfrac{AE}{AB} \cdot \dfrac{AF}{AC} = x \cdot y$ nhỏ nhất.

Mà ta có hệ thức liên hệ giữa hai tỉ lệ như sau:

$\dfrac{S_{AEO}}{S_{ABD}} = \dfrac{AE}{AB} \cdot \dfrac{AO}{AD}$

$\dfrac{S_{AFO}}{S_{ACD}} = \dfrac{AF}{AC} \cdot \dfrac{AO}{AD}$

$\dfrac{S_{AEF}}{S_{ABC}} = \dfrac{AE}{AB} \cdot \dfrac{AF}{AC}$

Do $S_{AEF} = S_{AEO} + S_{AFO}$

Suy ra $\dfrac{AE}{AB} \cdot \dfrac{AF}{AC} S_{ABC} = \dfrac{AE}{AB} \cdot \dfrac{AO}{AD} S_{ABD} + \dfrac{AF}{AC} \cdot \dfrac{AO}{AD} S_{ACD}$

Thay các tỉ lệ $\dfrac{AE}{AB} = x$ và $\dfrac{AF}{AC} = y$, bỏ qua các hằng số đi thì ta có:
$$xy \cdot a = x \cdot b + y \cdot c$$
Tới đây áp dụng bđt Cô-si:
$$a = \dfrac{b}{y} + \dfrac{c}{x} \geqslant 2 \sqrt{\dfrac{bc}{xy}}$$
Suy ra $xy \geqslant \ldots$. Dấu '=' xảy ra bạn tự tìm lại nhé :D

Nếu có thắc mắc gì thì bạn có thể hỏi lại. Chúc bạn học tốt!
 
  • Like
Reactions: kido2006
Top Bottom