[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!
ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.
Ta xét bài toán sau: Cho cấp số cộng [imath](u_n)[/imath] biết [imath]u_5=2[/imath], [imath]u_{40}=142[/imath]. Tìm công sai của dãy số [imath](u_n)[/imath]: Ta có thể giải như sau:
Do [imath](u_n)[/imath] là cấp số cộng nên [imath]u_n=u_1+(n-1)d[/imath].
Nên ta có [imath]u_5=u_1+(5-1)d[/imath] hay [imath]2=u_1+4d[/imath] (1)
và [imath]u_{40}=u_1+39d[/imath] hay [imath]142=u_1+39d[/imath]
Lấy (2)-(1) ta được [imath]142-2=u_1+39d-(u_1+4d) \Leftrightarrow 140=35d[/imath] Từ đó tương đương [imath]d=4[/imath].
Ta thấy cách này hơi dài dòng. Nên ta cần 1 cách ngắn hơn.
Hôm nay mình sẽ giới thiệu một công thức tổng quát hơn về số hạng tổng quát:
Định lí: Cho [imath](u_n)[/imath] là một cấp số cộng thì [imath]u_n=u_m+(n-m).d[/imath], [imath]\forall n,m \geq 1[/imath]. (*)
Chứng minh:
Ta quy nạp theo m.
Với m=1. Công thức đúng
Giải sử (*) đúng với [imath]n=k (k \geq 1, k \in \mathbb N^*)[/imath]
Ta có: [imath]u_n=u_k+(n-k).d[/imath]
Do [imath](u_n)[/imath] là cấp số cộng nên:
[imath]u_{k+1}-u_k=d[/imath] hay [imath]u_k=u_{k+1}-d[/imath]
Thế vào (**) ta được [imath]u_n=u_{k+1}-d+(n-k)d \Leftrightarrow u_n=u_{k+1}+(n-k)d-d \Leftrightarrow u_n=u_{k+1}+d(n-k-1)[/imath] hay [imath]u_n=u_{k+1}+(n-(k+1))d[/imath]
Vậy định lí được chứng minh.
Bây giờ ta dùng định lí này để giải bài toán đầu bài:
Ta có: [imath]u_n=u_m+(n-m).d[/imath]
Với m=40 ta có: [imath]u_n=u_{40}+(n-40).d[/imath].
Tiếp tục cho n=5 được [imath]u_5=u_{40}+(5-40).d[/imath]
Thay số ta được: [imath]2=142+(5-40).d \Leftrightarrow d=\frac{2-142}{5-40} \Leftrightarrow d=4[/imath].
Tóm lại qua đây bạn cần hiểu là công thức số hạng tổng quát của cấp số cộng [imath](u_n)[/imath] không nhất thiết là [imath]u_n=u_1+(n-1).d[/imath] mà ta có thể thay 1 tổng quát thành m lớn hơn 1 tùy ý: [imath]u_n=u_m+(n-m).d[/imath].
"I think there are some mistakes. If you find out it, please you should command !! ". Thanks !
Do [imath](u_n)[/imath] là cấp số cộng nên [imath]u_n=u_1+(n-1)d[/imath].
Nên ta có [imath]u_5=u_1+(5-1)d[/imath] hay [imath]2=u_1+4d[/imath] (1)
và [imath]u_{40}=u_1+39d[/imath] hay [imath]142=u_1+39d[/imath]
Lấy (2)-(1) ta được [imath]142-2=u_1+39d-(u_1+4d) \Leftrightarrow 140=35d[/imath] Từ đó tương đương [imath]d=4[/imath].
Ta thấy cách này hơi dài dòng. Nên ta cần 1 cách ngắn hơn.
Hôm nay mình sẽ giới thiệu một công thức tổng quát hơn về số hạng tổng quát:
Định lí: Cho [imath](u_n)[/imath] là một cấp số cộng thì [imath]u_n=u_m+(n-m).d[/imath], [imath]\forall n,m \geq 1[/imath]. (*)
Chứng minh:
Ta quy nạp theo m.
Với m=1. Công thức đúng
Giải sử (*) đúng với [imath]n=k (k \geq 1, k \in \mathbb N^*)[/imath]
Ta có: [imath]u_n=u_k+(n-k).d[/imath]
Do [imath](u_n)[/imath] là cấp số cộng nên:
[imath]u_{k+1}-u_k=d[/imath] hay [imath]u_k=u_{k+1}-d[/imath]
Thế vào (**) ta được [imath]u_n=u_{k+1}-d+(n-k)d \Leftrightarrow u_n=u_{k+1}+(n-k)d-d \Leftrightarrow u_n=u_{k+1}+d(n-k-1)[/imath] hay [imath]u_n=u_{k+1}+(n-(k+1))d[/imath]
Vậy định lí được chứng minh.
Bây giờ ta dùng định lí này để giải bài toán đầu bài:
Ta có: [imath]u_n=u_m+(n-m).d[/imath]
Với m=40 ta có: [imath]u_n=u_{40}+(n-40).d[/imath].
Tiếp tục cho n=5 được [imath]u_5=u_{40}+(5-40).d[/imath]
Thay số ta được: [imath]2=142+(5-40).d \Leftrightarrow d=\frac{2-142}{5-40} \Leftrightarrow d=4[/imath].
Tóm lại qua đây bạn cần hiểu là công thức số hạng tổng quát của cấp số cộng [imath](u_n)[/imath] không nhất thiết là [imath]u_n=u_1+(n-1).d[/imath] mà ta có thể thay 1 tổng quát thành m lớn hơn 1 tùy ý: [imath]u_n=u_m+(n-m).d[/imath].
"I think there are some mistakes. If you find out it, please you should command !! ". Thanks !
Last edited:
