Menelauyt nâng cao

[xnzt99]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Cho tam giác ABC. Ta gọi d1 là đường thẳng chia tam giác ABC thành 2 đa giác diện tích và chu vi bằng nhau. Tương tự đối với d2,d3. Chứng minh 3 đường thẳng d1,d2,d3 đồng qui tại một điểm. Điểm đó là điểm gì của tam giác ABC.
P/s: Mình nghĩ đây là bài Ceva đúng hơn là Menelauyt.

 

[huynhbachkhoa23]

Không cần Menelaus hay Ceva đâu anh.

Giả sử $d_1$ cắt $AB, AC$ tại $M,N$

Khi đó ta có $AM+AN=MB+BC+CN$ và $S_{AMN}=S_{BCNM}$

Gọi $r$ là bán kính đường tròn nội tiếp $(I)$

Ta có: $S_{IAM}+S_{IAN}=S_{IMB}+S_{IBC}+S_{INC}$

Nếu $I$ nằm trong $\Delta ANM$ thì: $S_{IMN}=-S_{IMN}$ vô lý
Nếu $I$ nằm trogn $BMNC$ thì: $S_{IMN}=-S_{IMN}$ vô lý

Vậy $I$ phải nằm ở trên $AMN$ và cả $BMNC$ hay $I \in d_1$

Tương tự cũng có $I\in d_2, d_3$ nên $d_1, d_2, d_3$ đồng quy tại $I$ là tâm nội tiếp của $\Delta ABC$