Toán 8 Max , min

[Cheems]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

1,Cho tam giác nhọn ABC.Từ một điểm M nằm trong tam giác, vẽ MD,ME,MF lần lượt vuông góc với BC,AC,AB.CMR: max{MA,MB,MC} >= 2min{MD,ME,MF}( trong đó: max{MA,MB,MC} là độ dài cạnh lớn nhất trong ba cạnh MA,MB,MC.
2,Cho hình chữ nhật ABCD có cạnh BC = 1 và AB = 3. Trên cạnh AB lấy điểm N sao cho 0,2 < AN <1. Đường trung trực của DN lần lượt cắt AD, DC ở E, F. Chứng minh rằng SDEF ≥ 2√3/9

 

[Darkness Evolution]

Chủ yếu dùng kiến thức lớp 9, chương 1 =)
1. Giả sử $\angle CMD = max \left\{\angle AMF; \angle BMF; \angle BMD; \angle CMD; \angle CME; \angle AME\right\}$
Thì $6 \angle CMD\ge \angle AMF+ \angle BMF+ \angle BMD+ \angle CMD+ \angle CME+ \angle AME =360^{\circ}$
$\Rightarrow \angle CMD \ge 60 ^{\circ}$
$\Rightarrow cos \angle CMD \le \cos 60 ^{\circ}$
$\Leftrightarrow \frac{MD}{MC} \le \frac{1}{2}$
$\Leftrightarrow 2MD \le MC $
Mà $max \left\{MA;MB;MC\right\} \ge MC; min \left\{MD;ME;MF\right\}\le MD$
Suy ra $max \left\{MA;MB;MC\right\} \ge 2min \left\{MD;ME;MF\right\}$
2. Đặt $\angle DFE = \angle ADN =\alpha, ND\cap EF=\left \{ H \right \}$
Ta có $HD=\frac{1}{2}DN=\frac{1}{2}\cdot \frac{AD}{\cos \alpha} = \frac{1}{2 \cos \alpha} $
$EF=EH+HF=HD\tan\alpha+HD\cot\alpha$
$=HD(\tan\alpha+\cot\alpha)= \frac{1}{2 \cos \alpha} \cdot \frac{1}{\sin\alpha \cos \alpha}= \frac{1}{2\sin\alpha \cos^2 \alpha} $
$\Rightarrow S_{DEF}=\frac{1}{2}EF\cdot HD=\frac{1}{8\sin\alpha \cos^3 \alpha} $
Xét $\sin^2 \alpha + \frac{\cos^2\alpha}{3}+ \frac{\cos^2\alpha}{3}+ \frac{\cos^2\alpha}{3} \ge 4 \sqrt[4]{\frac{\sin^2\alpha \cos^6 \alpha}{27}}$(AM-GM)
$\Leftrightarrow 1=\sin^2\alpha+\cos^2\alpha \ge 4 \sqrt[4]{\frac{\sin^2\alpha \cos^6 \alpha}{27}}$
$\Leftrightarrow \frac{1}{256}\ge \frac{\sin^2\alpha \cos^6 \alpha}{27}$
$\Leftrightarrow \frac{1}{64 \sin^2\alpha \cos^6 \alpha}\ge \frac{4}{27}$
$\Rightarrow \frac{1}{8 \sin\alpha \cos^3 \alpha}\ge \frac{2\sqrt{3}}{9}$
Suy ra $S_{DEF} \ge \frac{2\sqrt{3}}{9}$
Dấu "=" xảy ra khi $\sin\alpha= \frac{\cos\alpha}{\sqrt{3}}\Leftrightarrow \alpha = 30^\circ$

 

[Cheems]

Chủ yếu dùng kiến thức lớp 9, chương 1 =)
1. Giả sử $\angle CMD = max \left\{\angle AMF; \angle BMF; \angle BMD; \angle CMD; \angle CME; \angle AME\right\}$
Thì $6 \angle CMD\ge \angle AMF+ \angle BMF+ \angle BMD+ \angle CMD+ \angle CME+ \angle AME =360^{\circ}$
$\Rightarrow \angle CMD \ge 60 ^{\circ}$
$\Rightarrow cos \angle CMD \le \cos 60 ^{\circ}$
$\Leftrightarrow \frac{MD}{MC} \le \frac{1}{2}$
$\Leftrightarrow 2MD \le MC $
Mà $max \left\{MA;MB;MC\right\} \ge MC; min \left\{MD;ME;MF\right\}\le MD$
Suy ra $max \left\{MA;MB;MC\right\} \ge 2min \left\{MD;ME;MF\right\}$
2. Đặt $\angle DFE = \angle ABN =\alpha, ND\cap EF=\left \{ H \right \}$
Ta có $HD=\frac{1}{2}DN=\frac{1}{2}\cdot \frac{AD}{\cos \alpha} = \frac{1}{2 \cos \alpha} $
$EF=EH+HF=HD\tan\alpha+HD\cot\alpha$
$=HD(\tan\alpha+\cot\alpha)= \frac{1}{2 \cos \alpha} \cdot \frac{1}{\sin\alpha \cos \alpha}= \frac{1}{2\sin\alpha \cos^2 \alpha} $
$\Rightarrow S_{DEF}=\frac{1}{2}EF\cdot HD=\frac{1}{8\sin\alpha \cos^3 \alpha} $
Xét $\sin^2 \alpha + \frac{\cos^2\alpha}{3}+ \frac{\cos^2\alpha}{3}+ \frac{\cos^2\alpha}{3} \ge 4 \sqrt[4]{\frac{\sin^2\alpha \cos^6 \alpha}{27}}$(AM-GM)
$\Leftrightarrow 1=\sin^2\alpha+\cos^2\alpha \ge 4 \sqrt[4]{\frac{\sin^2\alpha \cos^6 \alpha}{27}}$
$\Leftrightarrow \frac{1}{256}\ge \frac{\sin^2\alpha \cos^6 \alpha}{27}$
$\Leftrightarrow \frac{1}{64 \sin^2\alpha \cos^6 \alpha}\ge \frac{4}{27}$
$\Rightarrow \frac{1}{8 \sin\alpha \cos^3 \alpha}\ge \frac{2\sqrt{3}}{9}$
Suy ra $S_{DEF} \ge \frac{2\sqrt{3}}{9}$
Dấu "=" xảy ra khi $\sin\alpha= \frac{\cos\alpha}{\sqrt{3}}\Leftrightarrow \alpha = 30^\circ$

Ukm , DFE = ABN là sao vậy bạn , A , B , N thẳng hàng mak

 

[Darkness Evolution]

Ukm , DFE = ABN là sao vậy bạn , A , B , N thẳng hàng mak

Tui sửa lại rồi đó =)