Toán MAX-MIN

[Dương Thu Vân]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Cho 2x^2+y^2+xy>=1.Tìm Min của x^2+y^2

 

[Nguyễn Mạnh Trung]

Cho 2x^2+y^2+xy>=1.Tìm Min của x^2+y^2

có đk x;y>0 không bạn ??
nếu có thì mình giải như sau:
Áp dụng bđt [tex]ab\leq \frac{a^{2}+b^{2}}{2}[/tex] với mọi ab (tự CM) ta có :
[tex]xy=\sqrt{(\sqrt{2}-1)}x.(\frac{1}{\sqrt{\sqrt{2}-1}})y\leq \frac{(\sqrt{2}-1)x^{2}+(\frac{1}{\sqrt{2}-1})y^{2}}{2}[/tex]
thế vào ta có :
[tex]2x^{2}+y^{2}+xy\leq 2x^{2}+y^{2}+\frac{(\sqrt{2}-1)x^{2}+(\frac{1}{\sqrt{2}-1})y^{2}}{2} \\=2x^{2}+y^{2}+\frac{(\sqrt{2}-1)x^{2}}{2}+\frac{(\frac{1}{\sqrt{2}-1})y^{2}}{2} \\=(2+\frac{\sqrt{2}-1}{2})x^2+[1+\frac{1}{2(\sqrt{2}-1)}]y^{2} =\frac{3+\sqrt{2}}{2}(x^{2}+y^{2})[/tex]
mà theo đề ra :
[tex]2x^2+y^2+xy\geq 1\Leftrightarrow \frac{3+\sqrt{2}}{2}(x^{2}+y^{2})\geq 1 \\x^{2}+y^{2}\geq \frac{6-2\sqrt{2}}{7}\approx 0,4531[/tex]
dấu "=" xảy ra khi [tex]x=\frac{1}{\sqrt{4-\sqrt{2}}}[/tex] và [tex]y=\frac{\sqrt{2}-1}{\sqrt{4-\sqrt{2}}}[/tex]
hoặc [tex]x=\frac{-1}{\sqrt{4-\sqrt{2}}}[/tex] và [tex]y=\frac{1-\sqrt{2}}{\sqrt{4-\sqrt{2}}}[/tex]

 

[Ray Kevin]

có đk x;y>0 không bạn ??
nếu có thì mình giải như sau:
Áp dụng bđt [tex]ab\leq \frac{a^{2}+b^{2}}{2}[/tex] với mọi ab (tự CM) ta có :
[tex]xy=\sqrt{(\sqrt{2}-1)}x.(\frac{1}{\sqrt{\sqrt{2}-1}})y\leq \frac{(\sqrt{2}-1)x^{2}+(\frac{1}{\sqrt{2}-1})y^{2}}{2}[/tex]
thế vào ta có :
[tex]2x^{2}+y^{2}+xy\leq 2x^{2}+y^{2}+\frac{(\sqrt{2}-1)x^{2}+(\frac{1}{\sqrt{2}-1})y^{2}}{2} \\=2x^{2}+y^{2}+\frac{(\sqrt{2}-1)x^{2}}{2}+\frac{(\frac{1}{\sqrt{2}-1})y^{2}}{2} \\=(2+\frac{\sqrt{2}-1}{2})x^2+[1+\frac{1}{2(\sqrt{2}-1)}]y^{2} =\frac{3+\sqrt{2}}{2}(x^{2}+y^{2})[/tex]
mà theo đề ra :
[tex]2x^2+y^2+xy\geq 1\Leftrightarrow \frac{3+\sqrt{2}}{2}(x^{2}+y^{2})\geq 1 \\x^{2}+y^{2}\geq \frac{6-2\sqrt{2}}{7}\approx 0,4531[/tex]
dấu "=" xảy ra khi [tex]x=\frac{1}{\sqrt{4-\sqrt{2}}}[/tex] và [tex]y=\frac{\sqrt{2}-1}{\sqrt{4-\sqrt{2}}}[/tex]
hoặc [tex]x=\frac{-1}{\sqrt{4-\sqrt{2}}}[/tex] và [tex]y=\frac{1-\sqrt{2}}{\sqrt{4-\sqrt{2}}}[/tex]

Cách giải chưa đúng nhé !!
Khi áp dụng $ab \le \dfrac{a^2+b^2}{2}$ thì khi giải ra dấu '=' là $a=b$ nhé !
P\s: Nhìn nhầm , sorry ^^
Mà đã làm BĐT này rồi thì không cần $x,y>0$ đâu nhỉ

 

[Dương Thu Vân]

có đk x;y>0 không bạn ??
nếu có thì mình giải như sau:
Áp dụng bđt [tex]ab\leq \frac{a^{2}+b^{2}}{2}[/tex] với mọi ab (tự CM) ta có :
[tex]xy=\sqrt{(\sqrt{2}-1)}x.(\frac{1}{\sqrt{\sqrt{2}-1}})y\leq \frac{(\sqrt{2}-1)x^{2}+(\frac{1}{\sqrt{2}-1})y^{2}}{2}[/tex]
thế vào ta có :
[tex]2x^{2}+y^{2}+xy\leq 2x^{2}+y^{2}+\frac{(\sqrt{2}-1)x^{2}+(\frac{1}{\sqrt{2}-1})y^{2}}{2} \\=2x^{2}+y^{2}+\frac{(\sqrt{2}-1)x^{2}}{2}+\frac{(\frac{1}{\sqrt{2}-1})y^{2}}{2} \\=(2+\frac{\sqrt{2}-1}{2})x^2+[1+\frac{1}{2(\sqrt{2}-1)}]y^{2} =\frac{3+\sqrt{2}}{2}(x^{2}+y^{2})[/tex]
mà theo đề ra :
[tex]2x^2+y^2+xy\geq 1\Leftrightarrow \frac{3+\sqrt{2}}{2}(x^{2}+y^{2})\geq 1 \\x^{2}+y^{2}\geq \frac{6-2\sqrt{2}}{7}\approx 0,4531[/tex]
dấu "=" xảy ra khi [tex]x=\frac{1}{\sqrt{4-\sqrt{2}}}[/tex] và [tex]y=\frac{\sqrt{2}-1}{\sqrt{4-\sqrt{2}}}[/tex]
hoặc [tex]x=\frac{-1}{\sqrt{4-\sqrt{2}}}[/tex] và [tex]y=\frac{1-\sqrt{2}}{\sqrt{4-\sqrt{2}}}[/tex]

nếu không có x,y>0 thì sao .Đề của mình ko có

 

[Nguyễn Mạnh Trung]

nếu không có x,y>0 thì sao .Đề của mình ko có

không cần x; y > 0 cũng dc, mình viết vào mà quên xoá đó !!