Cho x,y>=0;x^2+y^2=1.Tìm max-min của A=x^3+y^3
Tính Max
Từ giả thiết
$\begin{cases}
0 \leq x \leq 1\\
0 \leq y \leq 1\\
\end{cases}
\Rightarrow \begin{cases}
x^3 \leq x^2\\
y^3 \leq y^2\\
\end{cases}$
$\Rightarrow x^3 + y^3 \leq x^2 + y^2 = 1$
$max A = 1$ khi $x^3 = x^2$ và $y^3 = y^2$ hay $x = 0 ; y = 1$ hoặc $x = 1; y = 0$
Tính Min
$(x + y)^2 \leq 2(x^2 + y^2) = 2 \Rightarrow x + y \leq \sqrt{2} \Rightarrow \dfrac{x + y}{\sqrt{2}} \leq 1$
Do đó : $x^3 + y^3 \geq \dfrac{(x + y)(x^3 + y^3)}{\sqrt{2}}$ . Theo bđt Bu - nhi - a - cốp - xki :
$(x + y)(x^3 + y^3) \geq (x^2 + y^2)^2 = 1$
$min A = \dfrac{1}{\sqrt{2}} = \dfrac{\sqrt{2}}{2} \Leftrightarrow x = y = \dfrac{\sqrt{2}}{2}$
[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
