[Math 9] BĐT

[lebalinhpa1]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Cho 3 số dương x,y,z
CMR : $\frac{2x}{x^6 + y^4}$ + $\frac{2y}{y^6 + z^4}$ + $\frac{2z}{z^6 + x^4}$ < hoặc bằng $\frac{1}{x^4}$ +$\frac{1}{y^4}$ + $\frac{1}{z^4}$

 

[lebalinhpa1]

Cho 3 số dương a,b,c thỏa mãn a+ b + c = 3
CMR : $\frac{a}{1 + b^2}$ + $\frac{b}{1 + c^2}$ + $\frac{c}{1 + a^2}$ > hoặc bằng $\frac{3}{2}$

 

[huynhbachkhoa23]

$VT \le \sum \dfrac{1}{x^2y^2}$

Giả sử $x\ge y \ge z$

Hoán vị vòng.

 

[huynhbachkhoa23]

$VT \le \sum \dfrac{1}{x^2y^2}$

Đặt $a=\dfrac{1}{x^2}; b=\dfrac{1}{y^2}; c=\dfrac{1}{z^2}$

$a^2+b^2+c^2 \ge ab+bc+ca$

 

[huynhbachkhoa23]

$\dfrac{a}{1+b^2}=a-\dfrac{ab^2}{1+b^2} \ge a- \dfrac{ab}{2}$

Tương tự.

$VT \ge 3-\dfrac{1}{2}(\sum ab) \ge 3-\dfrac{(\sum a)^2}{6}=\dfrac{3}{2}$

 

[transformers123]

$VT \le \sum \dfrac{1}{x^2y^2}$

Đặt $a=\dfrac{1}{x^2}; b=\dfrac{1}{y^2}; c=\dfrac{1}{z^2}$

$a^2+b^2+c^2 \ge ab+bc+ca$

Trông bác chán đời quá=)):
Ta có:
$\dfrac{a}{1+b^2}=a-\dfrac{ab^2}{1+b^2} \ge a-\dfrac{ab^2}{2b}=a-\dfrac{ab}{2}$
Chứng minh tương tự với: $\dfrac{b}{1+c^2};\ \dfrac{c}{1+a^2}$ rồi cộng lại, ta có:
$\sum \dfrac{a}{1+b^2} \ge a+b+c-\dfrac{ab+bc+ca}{2} \ge 3-\dfrac{3}{2}=\dfrac{3}{2}$